Применение метода, основанного на свойствах симметрических многочленов для решения различных алгебраических задач. Основные понятия теории симметрических многочленов и применение их в решении неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений.
Аннотация к работе
Каждый человек, исходя из своего житейского опыта, имеет какое-то представление о симметрии, поскольку это одно из самых распространенных явлений в природе, искусстве и науке. Однако обычно под симметрией понимается либо зеркальная симметрия, когда одна половина предмета зеркально-симметрична другой, либо центральная, как у буквы И. Например, любой школьник, рассматривая равносторонний треугольник, может показать, почему эта фигура симметрична, и для подтверждения своей мысли может предложить несколько преобразований, в результате которых треугольник не изменит своего вида. В действительности понятие симметрии гораздо шире, и под ней понимается неизменность при какой-либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т.д. Например, в искусстве симметрия проявляется в соразмерности и взаимосвязанности отдельных частей, образующих произведение.Например, симметрическим многочленом от трех переменных называется многочлен Q(x, y, z) от трех переменных, который не меняется при перестановке любых двух переменных, а элементарные симметрические многочлены определяются формулами s1 = x y z, s2 = xy yz xy, s3 = xyz. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и y (ведь ни , ни не меняются при перестановке местами x и y, а потому не меняется и весь получившийся многочлен, выражающий через x y и xy. Например, из многочлена получаем симметрический многочлен Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т.е. можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен? Например, степенные суммы без труда выражаются через и : Какой бы симметрический многочлен мы ни взяли, после более или менее сложных выкладок его удается выразить через элементарные симметрические многочлены и .Уравнение f(z)=0, левая часть которого возвратный многочлен, называют возвратным. Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z 1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени. Выражения, заменяемые в возвратных многочленах через ? для четных многочленов (уравнений): z 1/z =?, z2 1/z2=?2-2, z3 1/z3=?3-3?, z4 1/z4=?4-4?2 2, z5 1/z5=?5-5?3 5?, z6 1/z6=?6-6?4 9?2-2, z7 1/z7=?7-7?5 14?3-7?, z8 1/z8=?8-8?6 20?4-16?2 2, z9 1/z9=?9-9?7 27?5-30?3 9?, z10 1/z10=?10-10?8 35?6-50?4 25?2-2, Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z 1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z. Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т.е. является возвратным и имеет четную степень 4.Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения x2 6x 10 =0. По теореме Виета: сумма корней первого уравнения: x1 x2=?1=-b =-6, а произведение этих корней: x1x2= ?2 =c=10.Задача: Решить иррациональное уравнение Тогда исходное уравнение имеет вид: y z = 5. Теперь мы имеем систему уравнений: из которой мы получаем для ?2 квадратное уравнение: ?22 - 50?2 264 = 0. Мы получили две системы уравнений: Первая система имеет два решения: Но y=4vx, и, следовательно, для первоначального x есть два решения: x1 = 16, x2 = 81.Метод симметрических многочленов также с успехом применяется для доказательства многих неравенств (от двух, трех и более переменных). Главным образом используются степенные суммы и следующая теорема. Для того, чтобы оба числа x, y,определяемые из системы уравнений были действительными, необходимо и достаточно, чтобы ?1,?2 удовлетворяли неравенству ?12 - 4?2 ? 0. Для того чтобы оба числа x, y были действительными и неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы числа ?1, ?2 удовлетворяли неравенствам ?12 - 4?2 ? 0, ?1 ?0, ?2 ?0. Для неравенств от двух переменных метод симметрических многочленов применяется так: - заменяют симметрический многочлен f(x,y) его выражением через ?1 и ?2;Задача: Доказать, что если а и b - действительные числа, удовлетворяющие условию a b ?c, то справедливы неравенства: a2 b2 = c2/2, a4 b4 = c4/8, a8 b8 = c8/128. Доказательство: Введем элементарные симметрические многочлены ?1 = a b, ?2 = ab. Применяя к полученному неравенству то же рассуждение, находим: a4 b4 ? ?(?с2)2=?с 4. Задача 2: Доказать, что для любых положительных чисел x,y,z справедливо неравенство ?1?2 ? 9?3.Задача: Доказать тождествоЗадача: Решить систему уравнений: Решение: Полагая S5=x5 y5, ?1=x y, ?2=xy, получаем: Подставив ?1 в первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно ?2: 15?22 - 135?2 210 = 0 |: 15, ?22 - 9?2 14 = 0, Решим его. Пусть ?2=t, тогда уравнение имеет вид t2 - 9t 14 = 0. Мы получили две системы уравнений: Решая их методом подстановки, получим четыре системы решения первоначальной системы: Ответ: (2;1); (1;2); (3/2 (v19/2)*i; 3/2 - (v19/2)*i); (3/2 - (v19/2)*i; 3/2 (v19/2)*i).
План
Содержание
Введение
1. Понятие симметрического многочлена
2. Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов
2.1 Уравнения
2.1.1 Уравнения высших степеней (возвратные)
2.1.2 Задания, связанные с квадратными уравнениями
2.1.3 Иррациональные уравнения
2.2 Неравенства и тождества
2.2.1 Неравенства
2.2.2 Доказательства тождеств
2.3 Системы уравнений
2.3.1 Системы уравнений от двух переменных
2.3.2 Системы уравнений от трех переменных
Заключение
Библиографический список
Введение
Каждый человек, исходя из своего житейского опыта, имеет какое-то представление о симметрии, поскольку это одно из самых распространенных явлений в природе, искусстве и науке. Однако обычно под симметрией понимается либо зеркальная симметрия, когда одна половина предмета зеркально-симметрична другой, либо центральная, как у буквы И. Такая симметрия означает, что есть преобразование (поворот), которое переводит предмет сам в себя.
В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, любой школьник, рассматривая равносторонний треугольник, может показать, почему эта фигура симметрична, и для подтверждения своей мысли может предложить несколько преобразований, в результате которых треугольник не изменит своего вида. В действительности понятие симметрии гораздо шире, и под ней понимается неизменность при какой-либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т.д.
Дать точное определение симметрии в общем случае не представляется возможным, поскольку она принимает свою конкретную форму в каждой области человеческой деятельности. Например, в искусстве симметрия проявляется в соразмерности и взаимосвязанности отдельных частей, образующих произведение. В классической механике она выражается в виде принципа относительности. Симметрия сыграла чрезвычайно важную роль при проведении исследований в физике микромира [7]. И не случайно крупнейший физик-теоретик академик А.Б. Мигдал в книге "Поиски истины" [8] утверждал, что "главными направлениями физики двадцатого века были поиски симметрии и единства картины мира".
Математики также издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.
Данная работа посвящена изучению возможностей применения для решения различных алгебраических задач метода, основанного на свойствах симметрических многочленов.
К сожалению, такой раздел алгебры как теория симметрических многочленов выходит за рамки школьной программы, хотя минимальные знания по этой теме могут быть весьма полезны при решении целого ряда задач. Например, решение алгебраических уравнений высших степеней и их систем, разложение многочленов на множители, доказательство тождеств и др.
При решении систем алгебраических уравнений в школьном курсе, как правило, предлагается использовать наиболее универсальный метод исключения переменных. Однако при решении систем уравнений высших степеней этим методом могут возникнуть ситуации, приводящие к решению общих уравнений 4-й и более степени, что само по себе является непростой задачей. Метод, основанный на свойствах симметрических многочленов, не является столь универсальным при решении систем как первый метод, но при выполнении определенных условий приводит к решению уравнений, степени которых ниже исходных. Кроме того, данный метод позволяет решать и другие алгебраические задачи.
Таким образом, основная задача нашей работы - изучение основных понятий и фактов теории симметрических многочленов от двух переменных и применение их в решении уравнений, неравенств, доказательстве тождеств и систем уравнений.