Розробка коректного розв"язку двоточкової крайової задачі про відшукання періодичного розв"язку параболічного рівняння вищого порядку з імпульсною дією. Методика постановки задачі Коші для параболічного псевдодиференціального рівняння вищого порядку.
Аннотация к работе
Задачі для рівнянь з частинними похідними виникають в різних галузях математики, механіки, фізики, техніки, економіки і екології та інших науках. При одержанні більшості з цих результатів істотну роль відіграє фундаментальна матриця розвязків для системи рівнянь (у випадку рівняння вищого порядку фундаментальна система розвязків) задачі Коші, їх властивості, а також властивості породжуваних потенціалів. Така задача в 60-х роках була поставлена і для рівнянь з частинними похідними Б.Й. Пташником. На даний момент опубліковано чимало праць, присвячених дослідженню крайових періодичних задач та задач з імпульсною дією для різних класів диференціальних рівнянь. Проаналізувавши відомі результати для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних систем та рівнянь, можна зробити висновок, що вони є неповними, тому їх необхідно розвинути і доповнити, аби одержати результати, подібні до відомих у теорії задачі Коші для лінійних систем та рівнянь, у теорії псевдодиференціальних рівнянь.Дисертація присвячена одержанню для параболічного диференціального та псевдодиференціального рівняння вищого порядку результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші, багатоточкових задачах, задачах з імпульсною дією для звичайних диференціальних рівнянь, для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь та систем першого порядку.
Вывод
псевдодиференціальний параболічний крайовий
Дисертація присвячена одержанню для параболічного диференціального та псевдодиференціального рівняння вищого порядку результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші, багатоточкових задачах, задачах з імпульсною дією для звичайних диференціальних рівнянь, для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь та систем першого порядку.
Основними науковими результатами є наступні: - для лінійних параболічних систем: 1) побудовано та отримано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами;
2) отримано оцінки похідних розвязку даної задачі у нормованих просторах Гельдера;
3) побудовано фундаментальну матрицю, за допомогою якої зображується розвязок імпульсної задачі зі змінними коефіцієнтами;
- для лінійних параболічних рівнянь вищого порядку: 1) побудовано та отримано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами;
2) побудовано фундаментальну систему розвязків, за допомогою якої зображується розвязок задачі Коші для рівняння зі змінними коефіцієнтами;
3) встановлено умови, при яких існує періодичний розвязок задачі з імпульсною дією та розвязок двоточкової задачі, і отримані оцінки їх похідних;
- для лінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку: 1) побудовано фундаментальну систему розвязків;
2) доведено леми про перетворення Фурє фундаментальної системи розвязків та її похідних;
3) встановлена коректна розвязність задачі Коші та задачі Коші з імпульсними умовами.
Одержані результати та методика доведення мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях нелокальних крайових задач для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку по $t$ зі сталими та змінними коефіцієнтами.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Матійчуку Михайлу Івановичу за постановку розглянутих у дисертаційній роботі питань, постійну увагу і підтримку в роботі.
Список литературы
1. Матійчук М.І. Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією / М.І. Матійчук, В.М. Лучко // Укр. матем. журн. - 2006. - T.58, №11. - С. 1525-1535.
2. Лучко В.М. Задача Коші для параболічного рівняння вищого порядку з імпульсною дією / В.М. Лучко // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - T.51, №1. С. 17-24.
3. Лучко В.М. Про двоточкову крайову задачу для параболічних рівнянь вищого порядку / В.М. Лучко // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 228. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 51 - 59.
4. Лучко В.М. Про періодичний розвязок параболічного рівняння вищого порядку по t / В.М. Лучко // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С.63-67.
5. Лучко В.М. Про періодичний розвязок параболічного рівняння вищого порядку по t з імпульсною дією / В.М. Лучко // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 83-87.
6. Лучко В.М. Задача Коші для параболічного псевдодиференціального рівняння вищого порядку / В.М. Лучко // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. Вип. 2. - 2008. - С. 19-25.