Вивчення фундаментального розв"язку задачі Коші. Дослідження диференціальних властивостей, граничної поведінки та одержання оцінок у різних нормах потенціалів. Встановлення коректної розв"язності задачі Коші в широких класах функціональних просторів.
Аннотация к работе
Для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних, С.Д.Івасишеним і Л.М.Андросовою всебічно досліджено властивості ФРЗК і породжених ними інтегралів Пуассона функцій та узагальнених мір зі спеціальних вагових просторів, за допомогою яких для однорідних рівнянь одержано зображення у вигляді інтегралів Пуассона розвязків, визначених у відкритому шарі, встановлено коректну розвязність задачі Коші у введених просторах. Нещодавно С.Д.Івасишен і С.Д.Ейдельман ввели новий клас вироджених рівнянь - вироджених рівнянь типу Колмогорова з $\overrightarrow{2b}$-параболічною частиною відносно основної групи змінних і у випадку, коли коефіцієнти цих рівнянь не залежать від просторових змінних, побудували ФРЗК і довели теореми про коректну розвязність задачі Коші та інтегральне зображення розвязків. Проаналізувавши результати дослідження задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова, можна зробити висновок, що найповніші і найточніші результати одержані для рівняння з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних. При одержанні цих результатів модифіковані методи теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь і методика доведень, яка розроблена при дослідженні вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова у випадку, коли їх коефіцієнти не залежать від просторових змінних.Зокрема, запропоновано нову модифікацію методу Леві, яка дозволяє глибше дослідити структуру ФРЗК у загальному випадку та одержати точніші оцінки інтегралів від ФРЗК. У підрозділі 2.2 за умов чи доведено модифікації принципу максимуму для рівняння (1) та спряженого за Лагранжем з ним рівняння в обмежених та необмежених областях, а також принцип максимуму для рівняння (1) у випадку функцій з обмеженим спаданням.Дисертація присвячена поглибленому вивченню задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова другого порядку з трьома групами просторових змінних у загальному випадку. Для таких рівнянь уперше: - доведені модифікації принципу максимуму, які використані при дослідженні властивостей ФРЗК і знаходженні класів єдиності розвязків задачі Коші; знайдені умови, за яких розвязки задачі Коші для однорідного рівняння та розвязки такого рівняння, що визначені у відкритому шарі, зображуються у вигляді інтегралів Пуассона функцій або узагальнених борельових мір із спеціальних вагових просторів; як підсумок вищеназваних результатів сформульовані теореми про коректну розвязність та інтегральне зображення розвязків задачі Коші для загального неоднорідного рівняння, при цьому описані множини початкових значень розвязків і при певних припущеннях щодо коефіцієнтів та неоднорідності рівнянь установлений ізоморфізм між уведеними просторами початкових значень та відповідних розвязків задачі Коші; Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь та у теорії випадкових процесів при вивченні марковських процесів, густини ймовірності переходу яких є ФРЗК для розглянутих рівнянь.
Вывод
Дисертація присвячена поглибленому вивченню задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова другого порядку з трьома групами просторових змінних у загальному випадку. Такого типу рівняння є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.
Основні результати дисертації є, взагалі кажучи, нетривіальним узагальненням відомих для рівномірно параболічних рівнянь результатів на названий клас вироджених рівнянь. Для таких рівнянь уперше: - доведені модифікації принципу максимуму, які використані при дослідженні властивостей ФРЗК і знаходженні класів єдиності розвязків задачі Коші;
- встановлені такі властивості ФРЗК, як нормальність, формула згортки, додатність ФРЗК та його оцінка знизу для рівняння з дійснозначними коефіцієнтами, оцінки похідних від інтегралів від ФРЗК, диференційовність обємного потенціалу;
- одержані оцінки в спеціальних вагових нормах інтегралів Пуассона й обємного потенціалу, породжених ФРЗК, та досліджена їх гранична поведінка;
- знайдені умови, за яких розвязки задачі Коші для однорідного рівняння та розвязки такого рівняння, що визначені у відкритому шарі, зображуються у вигляді інтегралів Пуассона функцій або узагальнених борельових мір із спеціальних вагових просторів;
- доведені теореми про єдиність розвязків задачі Коші в просторах функцій з обмеженим зростанням на нескінченності (швидкозростаючих функцій) та невідємних функцій;
- як підсумок вищеназваних результатів сформульовані теореми про коректну розвязність та інтегральне зображення розвязків задачі Коші для загального неоднорідного рівняння, при цьому описані множини початкових значень розвязків і при певних припущеннях щодо коефіцієнтів та неоднорідності рівнянь установлений ізоморфізм між уведеними просторами початкових значень та відповідних розвязків задачі Коші;
- доведені теореми про коректну розвязність у вагових просторах Гельдера задачі Коші для неоднорідного рівняння з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних.
Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь та у теорії випадкових процесів при вивченні марковських процесів, густини ймовірності переходу яких є ФРЗК для розглянутих рівнянь.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ПРАЦЯХ
1. Дронь В.С., Івасишен С.Д. Властивості фундаментальних розвязків і теореми єдиності розвязків задачі Коші для одного класу ультрапараболічних рівнянь // Укр. мат. журн. - 1998. - T.50, N11. - С.1482-1496.
2. Дронь В.С. Про коректну розвязність задачі Коші для ультрапараболічного рівняння типу Колмогорова // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1999. - T.42, N3. - С.52-55.
3. Дронь В.С., Івасишен С.Д. Про властивості обємного потенціалу та коректну розвязність задачі Коші для одного модельного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 46. Математика. - Чернівці: ЧДУ, 1999. - С.36-43.
4. Дронь В.С. Про коректну розвязність у вагових просторах Гельдера задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 76. Математика. - Чернівці: Рута, 2000. - С.32-41.
5. Дронь В.С. Про принцип максимуму для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - К.: Ін-т математики НАН України, 1996. - Вип.12. - С.272-277.
6. Дронь В.С., Івасишен С.Д. Деякі властивості фундаментальних розвязків задачі Коші для вироджених параболічних рівняннь типу Колмогорова // Волинський математичний вісник. - Рівне, 1995. - Вип.2. - С.76-78.
7. Dron" V.S. On Cauchy problem for ultraparabolic equations of Kolmogorov type // International Conference "Nonlinear Partial Diffefertial Equations" (Kiev, August 26-30, 1997): Book of abstracts. - Donetsk, 1997. - P.44-45.
8. Dron" V.S. On properties of the volume potential for a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type // International Conference "Nonlinear Partial Diffefertial Equations" (Lviv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. - Lviv, 1999. - P.57.
9. Дронь В.С. Властивість обємного потенціалу та коректність задачі Коші для одного ультрапараболічного рівняння // Матеріали міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". Ч.1. - Чернівці-Київ, 1998. - С.195-198.
10. Дронь В.С., Івасишен С.Д. Про задачу Коші для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова // Всеукраїнська конф. "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (15-18 травня 1996 р., Чернівці): Тези доп. - К., 1996. - С.59.
11. Дронь В.С. Про єдиність невідємного розвязку задачі Коші для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова // Матеріали наук. конф. викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького ун-ту (4-6 травня 1995р.). Т.2. - Чернівці: Рута, 1995. - С.87.