Дослідження специфічних властивостей оператора Бесселя нескінченного порядку в класах основних функцій. Аналіз методики відшукання усіх початкових даних задачі Коші, при яких відповідь має ті ж властивості гладкості, що і фундаментальний розв’язок.
Аннотация к работе
При розвязані задач математичної фізики, квантової механіки, газової динаміки, теорії теплопровідності, тепломасопереносу, кристалографії, задач про взаємодію тіл, при математичному моделюванні різних реальних процесів виникає необхідність дослідження крайових задач (зокрема, задачі Коші) для диференціальних рівнянь (та систем рівнянь) з різними особливостями та виродженнями, коли, наприклад, рівняння має особливості в коефіцієнтах, вироджується тип рівняння, рівняння замість диференціальних операторів містять псевдодиференціальні оператори, у рівняннях наявні випадкові збурення і т.п. Такі функції допускають регуляризацію у просторах узагальнених функцій скінченного порядку (типу розподілів Соболева-Шварца), або їх можна трактувати як узагальнені функції нескінченного порядку (типу ультрарозподілів, гіперфункцій), якщо порядок особливостей вищий за степеневий. До рівнянь, які мають особливості в коефіцієнтах, відносяться В-параболічні рівняння - рівняння з оператором Бесселя, який вироджується по певній просторовій змінній, а саме рівняння при цьому вироджується на межі області. Літовченка встановлено, що простори типу S" - простори, топологічно спряжені до просторів типу S - є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченого порядку, при яких розвязки є нескінченно диференційовними функціями просторових змінних. ( - оператор Бесселя порядку v>-1/2), тобто рівняння, які містять не лише поліноми від оператора Bv, а й інші функції від цього оператора .
Вывод
нескінченний коші фундаментальний бессель
Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку зі сталими та залежними лише від часової змінної коефіцієнтами у класах початкових даних, які є узагальненими функціями з просторів типу . Такі рівняння є природним узагальненням сингулярних параболічних рівнянь і є важливими з точки зору застосувань у теорії рівнянь з частинними похідними.
У дисертаційній роботі вперше: u знайдено необхідні і достатні умови, за яких оператор Бесселя нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; досліджено властивості операції узагальненого зсуву аргументу у таких просторах;
u доведено теореми про перетворення Фурє-Бесселя просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу;
u знайдено необхідні і достатні умови, які характеризують клас згортувачів та мультиплікаторів - узагальнених функцій із просторів типу ;
u встановлені оцінки ФРЗК та досліджені властивості ФРЗК як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторах типу , доведення диференційовність (по t) згортки ФРЗК, з довільною узагальненою функцією з простору типу та встановлена формула диференціювання такої згортки (по t), доведено існування граничних значень вказаних згорток при t> 0 у просторах узагальнених функцій типу ;
u доведено теореми про коректну розвязність задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу , знайдено умови, котрі повинна задовольняти початкова узагальнена функція f, при виконанні яких розвязок має вигляд (G - ФРЗК), при кожному належить до простору основних функцій типу , , t> 0, у просторі узагальнених функцій типу .
Одержані результати і методика доведення мають теоретичне значення. Вони можуть знайти застосування і подальший розвиток у теорії рівнянь з частинними похідними, теорії узагальнених функцій.
Список литературы
1. Городецький В.В., Дрінь С.С. Задача Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку // Доп. НАН України. - 2003. № 11. - С. 12 - 17.
2. Городецький В.В., Дрінь С.С. Перетворення Фурє-Бесселя просторів типу C та C" // Доп. НАН України. - 2004. - № 8. - С. 19 - 24.
3. Дрінь С.С., Дрінь І.І. Перетворення Фурє-Бесселя просторів типу S та S" // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С. 50-59.
4. Дрінь С.С. Оператори Бесселя нескінченного порядку у просторах типу C // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 191 - 192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 41 - 46.
5. Дрінь С.С. Оператори узагальненого зсуву аргументу в просторах типу // Науковий вісник Чернівецького університету6: Зб. наук. пр. Вип. 314-315. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 59 - 63.
6. Дрінь С.С. Еволюційні рівняння з оператором Бесселя нескінченного порядку // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2005), September 18-29, 2005, Sevastopol, Laspi, Vol. 16. - Simferopol, 2006. - P. 12-15.
7. Дрінь С.С. Еволюційні сингулярні рівняння нескінченного порядку // Десята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука 13 - 15 травня 2004 р., м. Київ: Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2004. - С. 101.