Властивості операторів узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва. Встановлення розв"язності задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку та умовами, які є узагальненими функціями типу розподілів.
Аннотация к работе
При математичному моделюванні різних реальних процесів використовуються рівняння з частинними похідними як скінченного, так і нескінченного порядків, рівняння із зростаючими при коефіцієнтами, еволюційні рівняння з операторами узагальненого диференціювання, операторами, які вироджуються за певними просторовими змінними (наприклад, з оператором Бесселя) і т. п. Літовченком та ін. встановлено, що простори типу - простори, топологічно спряжені до просторів типу - є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченного та нескінченного порядків, при яких розвязки є цілими функціями за просторовими змінними.
Вывод
Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання, псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку та гармонійним осцилятором нескінченного порядку (рівняння з необмежено зростаючими при коефіцієнтами) в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів. Такі рівняння є природним узагальненням диференціально-операторних рівнянь параболічного типу і є важливими з точки зору застосувань у теорії параболічних псевдодиференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку.
У дисертаційній роботі вперше одержано такі результати: - знайдено умови коректної визначеності та неперервності операторів узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва як скінченного, так і нескінченного порядків у просторах типу , а також операторів узагальненого інтегрування у цих просторах;
- встановлено розвязність задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання у просторах типу та просторах узагальнених функцій (аналітичних функціоналів) типу ; знайдено зображення розвязків вказаних задач;
- у просторі побудовано гармонійний осцилятор нескінченного порядку, який є неперервним у цьому просторі; знайдено зображення гладких розвязків еволюційних рівнянь з таким оператором; встановлено існування граничних значень гладких розвязків вказаних рівнянь у просторах узагальнених функцій типу ультрарозподілів;
- доведено коректну розвязність задачі Коші для еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором нескінченного порядку у певних підпросторах узагальнених функцій типу ;
- побудовано наближені розвязки задачі Коші для рівняння гіперболічного типу з виродженням, яке містить гармонійний осцилятор нескінченного порядку, дається оцінка швидкості збіжності в залежності від гладкості початкових функцій;
- знайдено умови, за яких у просторі основних функцій визначений, є лінійним і неперервним псевдо-Бесселевий оператор нескінченного порядку;
- досліджені властивості фундаментального розвязку задачі Коші (ФРЗК) для еволюційного рівняння з таким оператором як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторі , встановлені оцінки похідних ФРЗК, доведена диференційовність (по ) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцією з простору ; вивчена поведінка вказаних згорток при у просторі узагальнених функцій ;
- встановлено коректну розвязність задачі Коші для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку у певному підпросторі простору (класі згортувачів), знайдено зображення розвязку задачі Коші у вигляді згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцією типу розподілів.
Список литературы
1. Городецкий В.В. Эволюционные уравнения с операторами обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. І / Василий Васильевич Городецкий, Наталия Михайловна Шевчук // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, №4. - С. 480 - 490.
2. Городецкий В.В. Эволюционные уравнения с операторами обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. ІІ / Василий Васильевич Городецкий, Наталия Михайловна Шевчук // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, №6. - С. 785 - 794.
3. Гома Н.М. Еволюційні рівняння з гармонійним осцилятором у просторах типу та / Наталія Михайлівна Гома, Василь Васильович Городецький // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С. 13-25.
4. Шевчук Н.М. Наближені розвязки задачі Коші для гіперболічного рівняння з виродженням / Н.М. Шевчук // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 336-337. - Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 197-205.
5. Шевчук Н.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку / Н.М. Шевчук // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 374. - Математика. - Чернівці: Рута, 2008. - С. 145-154.
6. Городецький В.В. Оператори Гельфонда-Леонтьєва у просторах типу / Василь Васильович Городецький, Наталія Михайлівна Гома // XI Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2006. - С. 520.
7. Шевчук Н.М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку /Н.М. Шевчук // ХІІ Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2008. - С. 444.
8. Городецький В.В. Множини початкових значень гладких розвязків еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором / В.В. Городецький, Н.М. Гома // Матеріали IV міжнародної науково-практичної конференції «Динаміка наукових досліджень 2005». Том 27. Математика. - Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2005. - С. 5-8.
9. Шевчук Н.М. Про одне узагальнення операцій диференціювання у просторах типу / Н.М. Шевчук // Материалы II Международной научно-практической конференции «Стратегические вопросы мировой науки - 2007». Том 8. Математика. Физика. Современные информационные технологии. - Днепропетровск: Наука и образование, 2007. - С. 5-7.
10. Шевчук Н.М. Наближені розвязки еволюційного рівняння гіперболічного типу / Н.М. Шевчук // Материалы III Международной научно-практической конференции «Эффективные инструменты современных наук - 2007». Том 9. Технические науки. Строительство и архитектура. Математика. Физика. Химия и химические технологии. - Днепропетровск: Наука и образование, 2007. - С. 22-26.
11. Городецький В.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва / Василь Васильович Городецький, Наталія Михайлівна Шевчук // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція, 11-14 жовтня, 2006 р., тези доповідей. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 26.