Умови існування та єдиності розв"язків мішаних задач та задач без початкових умов для деяких типів еволюційних рівнянь та систем. Існування та єдиність розв"язків для нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях.
Аннотация к работе
Наприклад, вироджені гіперболічні рівняння виникають у теорії безмежно малих згинів поверхонь обертання, в газовій динаміці; вироджені параболічні - у процесах опріснення морських вод; ультрапараболічні - у деяких задачах дифузійних процесів та розсіювання електронів. У цій дисертаційній роботі досліджено задачі для деяких класів еволюційних рівнянь та систем з виродженням, ультрапараболічних рівнянь, а також для нелінійних рівнянь високих порядків з другою похідною за часовою змінною в узагальнених просторах Лебега та Соболєва. Параболічні рівняння з першою похідною за часовою змінною і високих порядків за просторовими змінними, які мають два параметри виродження розглянуто у працях Івасишена С. Д., Возняк О. Г., Мединського І. П.. Мішані задачі для нелінійних рівнянь високих порядків з другою похідною за часовою змінною вивчені мало. Але задачі для рівнянь з другою похідною за часовою змінною в узагальнених просторах Соболєва не вивчалися.Системи містять два параметри виродження, від співвідношення яких залежать умови розвязності цієї задачі. Функцію назвемо узагальненим розвязком задачі (1), (2), якщо вона задовольняє умову (23) і рівність для довільної такої функції , що v(x,T)=0. Нехай коефіцієнти системи (1) задовольняють умови 1) - 4) та їх можна продовжити в деяку циліндричну область, яка містить Q, зі збереженням цих умов, {Gб (1= |б|? m), Сб (1? У підрозділі 2.2 для задачі (1), (2) за додаткових умов гладкості коефіцієнтів системи одержано диференціальні властивості розвязку за t в циліндричній області (теорема 2.2) та за змінною x в циліндричній області (зауваження 2.4). За подібних припущень до 1) - 4), умов p2 = np1 / (n - p1), якщо n > p1, f О L2(Q), u1 О L2(Щ), u0 О W2,2(Щ) одержано існування розвязку цієї задачі (теорема 3.3), а за додаткових умов на гладкість коефіцієнтів рівняння і функцію p(x) отримано єдиність цього розвязку (теорема 3.4).У дисертації знайдено умови існування та єдиності розвязків мішаних задач та задачі Фурє для деяких типів еволюційних рівнянь та систем. 1)Доведено існування розвязку мішаної задачі для еволюційних систем високого порядку за просторовими змінними і другого порядку за часовою змінною в обмеженій області нециліндричної форми з виродженням (на гіперплощині задання початкових даних) у еліптичні. Єдиність розвязку цієї задачі доведено у працях Лавренюка С. П.. 3)Доведено однозначну розвязність мішаної задачі для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
У дисертації знайдено умови існування та єдиності розвязків мішаних задач та задачі Фурє для деяких типів еволюційних рівнянь та систем. В окремих випадках досліджено гладкість розвязку.
Отримано такі нові результати.
1)Доведено існування розвязку мішаної задачі для еволюційних систем високого порядку за просторовими змінними і другого порядку за часовою змінною в обмеженій області нециліндричної форми з виродженням (на гіперплощині задання початкових даних) у еліптичні. Також одержано гладкість розвязку для цієї задачі в циліндричній області. Єдиність розвязку цієї задачі доведено у працях Лавренюка С. П..
2)Досліджено існування єдиного розвязку в узагальнених просторах Соболєва та Лебега мішаних задач для деяких типів нелінійних еволюційних рівнянь з другою похідною за часовою змінною, які містять, як частковий випадок, деякі параболічні за І. Г. Петровським рівняння та для нелінійних ультрапараболічних рівнянь.
3)Доведено однозначну розвязність мішаної задачі для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь в необмежених за просторовими змінними областях. Знайдені умови не залежать від поведінки розвязку на нескінченності.
4)Визначено умови існування єдиного розвязку задачі без початкових умов (задачі Фурє) для слабко нелінійних ультрапараболічних рівнянь, які не залежать від поведінки розвязку при .
Для одержання цих результатів застосовано методи, відомі для рівнянь гіперболічного та параболічного типів та їх модифікацію (методи Гальоркіна, регуляризації, штрафу, кінцево-різницевих відношень, монотонності та компактності).
Результати досліджень дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики та в теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних.
Список литературы
1.Процах Наталія. Існування розвязку однієї еволюційної системи з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 54. - С. 159 - 170.
2.Процах Наталія. Внутрішня гладкість розвязку мішаної задачі для еволюційної системи з виродженням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2000. - Вип. 56. - С. 157 - 169.
3.Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для одного нелінійного параболічного рівняння // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - Т. 43, № 3. - С. 56-63.
4.Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного еволюційного рівняння з другою похідною за часом в узагальнених просторах Лебега // Математичні студії. - 2001. - Т. 16, № 2. - С. 157 - 168.
5.Процах Наталія. Існування та єдиність розвязку мішаної задачі для одного параболічного нелінійного рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2001. - Вип. 59. - С. 148 - 157.
6.Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для ультрапараболічного рівняння в необмеженій області // Укр. мат. журн. - 2002. - Т.54 , № 8. - С. 1053 - 1066.
7.Процах Н. П. Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернів. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернівці. ЧДУ. - 2002. - Вип. 134. - С. 97 - 103.
8.Процах Н. П. Про коректність мішаної задачі для еволюційної системи з виродженням // VIII міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції (11-14 травня 2000 р.). - Київ, 2000. - С. 351.
9. Процах Наталія. Про мішану задачу для параболічного нелінійного рівняння в узагальнених просторах Соболєва // Міжнародна наукова конференція “Нові підходи до розвязування диференціальних рівнянь” 1-5 жовтня 2001 р., Дрогобич, 2001. - С. 105.
10. Lavrenyuk Serhiy, Protsakh Natalia. The mixed problem for one ultraparabolic equation in an unbounded domain // Nonlinear Partial Differential Equations. Books of abstracts. International Conference. Kyiv, August 22-28, 2001, P. 77.
11. Protsakh N. P. Mixed problem for nonlinear ultraparabolic equation // International Conference on Functional Analisys and its applications. Dedicated to 110-th anniversary of Stephan Banach. Books of abstracts. May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine, P. 164-165.