Нахождение коэффициентов логарифмической модели методом наименьших квадратов. Освоение методов логарифмической и линейной аппроксимации. Выявление значения функции в заданной точке. Анализ точности и правильности вычислений разработанных алгоритмов.
Аннотация к работе
Требуется найти значение функции в соответствии с логарифмической моделью в заданной точке; таблица эмпирических значений вводится из файла специального формата; вывод результатов на экран, а по желанию пользователя на принтер или в файл.Большой пласт задач и моделей в математике сводятся к так называемым численным задачам, когда аналитическое решение или невозможно в принципе, или очень трудоемко, такие задачи и методы их решения принято называть численными. С развитием вычислительной техники, с ростом ее мощности, быстродействия и объемов доступной памяти в нашу жизнь все чаще входят вычисления тех или иных моделей. Применение численных методов основано на двух принципах: Замена сложной модели более простойИли если аналитической функции нет, то по экспериментальным данным подбирается функция и ее неизвестные коэффициенты таким образом, что бы наилучшим образом огибать все заданные точки. Метод наименьших квадратов - математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.Задача заключается в подборе таких значений x, чтобы значения этих функций были максимально близки к некоторым значениям . По существу речь идет о «решении» переопределенной системы уравнений , в указанном смысле максимальной близости левой и правой частей системы.Пусть имеется значений некоторой переменной (это могут быть результаты наблюдений, экспериментов и т. д.) и соответствующих переменных . Задача заключается в том, чтобы взаимосвязь между и аппроксимировать некоторой функцией , известной с точностью до некоторых неизвестных параметров , то есть фактически найти наилучшие значения параметров , максимально приближающие значения к фактическим значениям . Фактически это сводится к случаю «решения» переопределенной системы уравнений относительно : . Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры , при которых сумма квадратов отклонений (ошибок, для регрессионных моделей их часто называют остатками регрессии) будет минимальной: , где - англ.Будем искать функциональную зависимость в виде , где a - коэффициент регрессии. Для определения неизвестных параметров a и b нужно решить систему: После преобразований система примет вид Подставим в систему: Откуда коэффициенты: Подсчитаем коэффициент детерминации по формулам: Где у линейная 0,26608 0,53411 0,80214 1,07017 1,33820 1,60623 1,84448 2,14230 2,41628Аналогично предыдущему разделу зададим набор данных и целевую функцию, затем найдя ее производную по параметрам и приравняв к нулю (необходимое условие существования экстремума), найдем эти параметры: Пусть задан некий набор данных х и у: x 1 2 3 4 5 6 7 y 0,1 0,4 0,5 0,6 0,7 0,74 0,8 Будем искать функциональную зависимость в виде , где a - коэффициент регрессии. Для определения неизвестных параметров a и b нужно решить систему: После преобразований система примет видПри запуске программа пытается считать входные данные в бинарном виде (формат real) в файле input.bin при невозможности найти или считать этот файл производится попытка считать данные из текстового файла Input.txt. Далее производится требуемый расчет коэффициентов линейной регрессии и расчет значений функции в 10 (параметр density) значениях х на интервале от минимального до максимального значения х, в начальных данных.а) Формат входных данных в файле input.bin: файл содержит пары координат точек (х,у) в формате real, примерный вид файла в16тиричном формате: Рис. Координат точек может быть сколько угодно, файл читается до достижения конца. б) Формат входных данных в файле input.txt: файл содержит пары координат точек (х, у) в обычном текстовом формате, разделенные пробелом, примерный вид файла: Рис.5 вид файла input.txt Координат точек может быть сколько угодно, файл читается до достижения конца. в) По окончании вычислений программа выдает результаты на экран и тоже самое дублирует в файлы output.txt,output. bin, Приблизительный вид выходного файла output.txt показан на рисунке: Рис.6. Файл output. bin содержит пару коэффициентов ab, а затем следуют рассчитанные точки - пары координат ху.Основной метод расчета (как и методы, вводы вывода) реализован в отдельной функции. function log_min_sq(x,y:arraytype;n:integer;var a,b:real):integer; Ниже опишем вспомогательные функции и значения переменных: const maxn = 1000; - ограничение на количество считанных из файла координат. const dencity =10; - «плотность» - количество расчетных точек в выходных данных. procedure parse(str:string;var s1,s2:string); - процедура разбиения строки на две подстроки , разделенные пробелом(пробелами). function load_bin_data(filename:string; var x,y:arraytype; var n:integer):integer; - загрузка данных из бинарного файла function load_txt_data(filename:string; var x,y:arraytype; var n:integer):integer; - загрузка данных из текстового файла procedure found_minmax(x:arraytype;n:integer; var xmin,xmax:real); - нахождение минимума и максимума в массиве х. procedure print(var f: