Выпуклые множества. Выпуклый функционал или функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал Минковского. Доказательство теорем Хана-Банаха и отделимости.
Аннотация к работе
Множество C X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками x(1) и x(2) оно содержит и весь отрезок. На рисунке изображены 2 множества на плоскости R2 С-выпуклое, а С1-нет. Рассмотрим множество С, такое, что С - множество точек, а x - любая фиксированная точка этого пространства. Лемма: Пусть С - замкнутое множество из рефлексивного банахового пространства X и пусть для любых x1, x2 ? C существует число ? = ?(x1, x2) ?[0, 1], вообще говоря, зависящее от x1 и x2, и такое, что: Тогда множество С - выпукло. Пересечение всевозможных выпуклых множеств С, содержит данное множество М, называется выпуклой оболочкой множества М и обозначается: Определение 1.3.Выпуклым функционалом называется функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал f, не принимающий значений, равных-? на выпуклом множестве M, будет выпуклым на M тогда и только тогда, когда выполняется: При обратном знаке неравенства функционал f называется вогнутым. Операции, переводящие выпуклый функционал в выпуклый функционал: Пусть функционалы f и g - определены на множестве М. f,g - выпуклые функционалы. Операции: Сложение: Умножение: Взятие верхней грани: Инфимальная конволюция: Выпуклый функционал, ограниченный сверху в окрестности некоторой точки х, является непрерывным в этой точке. Такая двойственность позволяет связать с каждым выпуклым функционалом двойственный объект, сопряженный функционал: Функционал - f заданный на выпуклом множестве М, называется строго выпуклым, если неравенство (*) перейдет в строгий вид, при этом x ? y, ??(0;1).В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нем. Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества М определим функционал Минковского. (предполагается, что 0?M и множество {r>0| x? RM} непустое). Не отрицательность функционала Минковского следует из определения. Для того, чтобы функционал x*? X на линейном топологическом пространстве X был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы существовала сублинейная функция, непрерывная в нуле. p(x), мажорирующая x*: Доказательство: 1) Необходимость устанавливается непосредственно, если положить p(x)=||.Пусть L - действительное линейное пространство и L0 - некоторое подпространство L. f0 - некоторый линейный функционал и пусть он задан на L0. Линейный функционал f - определен на всем пространстве L. f - продолжение функционала, если f(x)=f0(x), ?x ? L0. Если f0 - линейный функционал на L0, подчиненный функционалу p(x) на L0 т.е. если на L0 f0(x)? p(x), то f0.может быть продолжен до линейного функционала f на L, подчиненного p(x) на всем L. Доказательство: Покажем, что если L0? L, то функционал f0 можно продолжить с L0 на некоторое большое подпространство L’ с сохранением условия f0(x)? p(x). Если в L можно выбрать счетную систему элементов x1,x2,…,xn,…, порождающую все L, то функционал на L строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств: - минимальное линейное подпространство L, содержащие и .Исходя из изложенного теоретического курса (в 1 части), мною были решены следующие задачи: Пример 1. В пространстве R2 с элементами на подпространстве задан линейный функционал . Доказать, что существует единственное продолжение f на все R2 с сохранением нормы и найти это продолжение. Решение: По теореме Хана-Банаха для всякого ограниченного линейного функционала f, заданного на подпространстве L, существует его продолжение на все X с сохранением нормы. В пространстве R2 линейный ограниченный функционал имеет вид , тогда на подпространстве L, где , имеем .
План
СОДЕРЖАНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.Выпуклые множества
2.Выпуклый функционал
3. Функционал Минковского
4. Теорема Хана-Банаха
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Выпуклые множества
Пусть X-линейное вещественное пространство.
Список литературы
1. «Выпуклый анализ» - 1973. В. М. Тихомиров.
2. «Элементы теории функций и функционального анализа» - А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин