Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора - Курсовая работа

бесплатно 0
4.5 85
Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.


Аннотация к работе
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 - 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.Если функция f(x) имеет в точке х0 производную n-го порядка, то существует многочлен Pn(х) степени не выше n такой, что Pn(хо) = f(x0), (xo) = (xo), k = . Из (3) следует, что многочлен Pn(х), заданный формулой (2), удовлетворяет условиям (1). Этот многочлен называют многочленом Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 . Пусть функции ?(x) и ? (х) определены в ?-окрестности точки x0 и удовлетворяют следующим условиям: 1) для каждого х ? U?(x0) существуют и ; Тогда, применяя к функциям ? и ? на отрезке [x0,x] теорему Коши (Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем g"(x) ? 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка ? (a, b) такая что ) и учитывая, что ?(xo) = ?(хо) = 0 в силу условий (4), получаемЕсли существует , то · Из существования следует, что функция f(x) определена и имеет производные до (n - 1)-го порядка включительно в ?-окрестности точки хо. Обозначим ?(х) = rn(x), ?(х) = (x-xo)n 1, где функция rn(x) определяется формулой (9). Функции ?(х) и ?(х) удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер n 1 на номер n - 1 (см. равенства (10)). Таким образом, правая часть формулы (14) имеет при предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, также равный нулю. Если существует и если при то · По теореме 2 справедлива формула (13), и так как по условию выполняется равенство (16), то Переходя к пределу при в равенстве (18), получаем = .Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинаковые слагаемые и и разделив обе части полученного равенства на , имеемВ формуле (21) остаточный член записан в виде о( ), а не в виде о( ), так как для четной функции f выполняется условие = 0, и поэтому член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым ,равен нулю. Поэтому формула (20) для функции записывается в виде Так как sh x = , ch x = , то формулы (24) и (25) можно получить, используя равенство (23) и равенство = о( ), . в) Тригонометрические функции. Аналогично, f(x) = cos х - четная функция, = cos (2n) = и по формуле (21) получаем cos x = l - ... , (27) или cos x = . г) Степенная функция. Из формулы (34) при n = 3 находим б) Так как , то, применяя формулу (31), получаем в) Используя равенство ln = и формулу (33), находим ln г) Так как f(x) = х 3 , то, применяя формулу (23), получаем f(x) = x( или f(x) = т. е. f(x) = ?Рассмотрим предел при отношения , где f (0) = g (0) = 0,т.е. предел типаПример 1.Найти · Используя формулы (24), (26), (31) и (42), где Тогда, используя формулы (43) и (27), где , а функция представляется при в виде то, используя формулу получаем По формуле (46) находим, что При вычисление предела с помощью формулы Тейлора в конечной точки можем положить и свести задачу к вычислению предела при t = 0.В данной курсовой работе был рассмотрен метод вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.

План
Оглавление

Введение

1. Формула Тейлора

1.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

1.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

1.3 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора

2. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

2.1 Изложение метода

2.2 Примеры вычисления пределов с помощью формулы Тейлора

Заключение

Список литературы

Введение
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 - 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Все вычисления в калькуляторе построены на том, что некая функция хоть и выглядит не очень красивой после разложения в ряд но за то очень удобно вычислять.

Возьмите например простую функцию sin(x) и вам нужно вычислить допустим sin(134) Как вы это сделаете? А вот разложив эту функцию в ряд, Вы сможете подставить в нее значение Х. При этом теория рядов позволяет узнать сколько членов ряда нужно иметь для заданной точности.

В курсовой показано, как с помощью формулы Тейлора можно легко находить пределы функций.

Вывод
В данной курсовой работе был рассмотрен метод вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.

Рассмотренный метод является достаточно эффективный при вычисление пределов.

Список литературы
1. Тер-Крикоров А.М. Курс математического анализа. Учеб. пособие для вузов.- 3-е изд., исправл. - М.: ФИЗМАТ- ЛИТ, 2001.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том 1. Издательство “Наука”.Главная редакция Физико-математическо Литературы. Москва 1968г.

3. Ляшко И.И., Бояргук А.К., Тай Я.Г. и др. Справочное пособие по математическому анализу. Ч.1.Введение в анализ, производная, интеграл. Киев, издательство объединение «Вица школа», 1978 г.

Размещено на .ru
Заказать написание новой работы



Дисциплины научных работ



Хотите, перезвоним вам?