Побудова апроксимаційних моделей за допомогою методу дискретизації часу для стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі. Швидкість збіжності апроксимацій за схемами Ейлера і Мільштейна для напівлінійних рівнянь еволюційного типу.
Аннотация к работе
Пізніше виявилося, що стохастичні диференціальні рівняння виникають при моделюванні багатьох різних фізичних, хімічних і біологічних явищ, що містять випадковість, а також при моделюванні процесів на фінансових ринках, потоків страхових виплат, тощо. Вперше такі рівняння було розглянуто С.Н. Каца було доведено, що розвязок стохастичного диференціального рівняння повязаний із задачею Коші для відповідного рівняння теплопровідності, що значно підвищило інтерес до дослідження стохастичних диференціальних рівнянь. Рівняння у гільбертовому просторі було введено і розглянуто вперше в роботах В.В. Він полягає у тому, що відрізок, на якому розглядається рівняння, розбивається на менші відрізки, на кожному з яких коефіцієнти рівняння і сам розвязок при його підстановці у коефіцієнти вважаються сталими.Зокрема, побудовано апроксимації за схемами Ейлера і Мільштейна для стохастичних напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто-Вольтерра у гільбертовому просторі та отримано швидкість збіжності для таких апроксимацій; побудовано скінченновимірні апроксимації розвязків СДР у гільбертовому просторі і доведено їх збіжність; побудовано апроксимації розвязків СДР із необмеженим оператором у зсуві розвязками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами і отримано швидкість їх збіжності.
Вывод
апроксимаційний стохастичний гільбертовий ейлер
У дисертації розроблено методи апроксимації стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі. Зокрема, побудовано апроксимації за схемами Ейлера і Мільштейна для стохастичних напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто-Вольтерра у гільбертовому просторі та отримано швидкість збіжності для таких апроксимацій; побудовано скінченновимірні апроксимації розвязків СДР у гільбертовому просторі і доведено їх збіжність; побудовано апроксимації розвязків СДР із необмеженим оператором у зсуві розвязками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами і отримано швидкість їх збіжності.
У роботі отримано нові результати, що стосуються упереджуючих СДР: доведено існування приблизних розвязків СДР у формі Скорохода з упередженням; побудовано апроксимації квазілінійних СДР з упередженням і отримано результати про швидкість їх збіжності
Із застосуванням методу дискретизації часу у звичайних диференціальних рівняннях отримано нові апроксимаційні формули для напівгруп операторів, що доповнюють класичні результати.
Список литературы
1. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Ейлерові наближення розвязків абстрактних рівнянь та їх застосування в теорії напівгруп // Укр. Мат. Журнал. - 2004.
2. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Лінійні рівняння i стохастичні експоненти в гільбертовому просторі // Теор. Імовір. Мат. Стат. - 2004.
3. Шевченко Г.М. Швидкість збіжності дискретних апроксимацій розвязків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі // Теор. Імовір. Мат. Стат. - 2003.
4. Шевченко Г.М. Наближенне інтегрування стохастичних диференціальних рівнянь // Доповіді НАН України. Серія Математика. "- 2005. - 1. - С. 39-46.
5. Шевченко Г.М. Про Ейлерові апроксимації квазілінійних стохастичних диференціальних рівнянь з упередженням // Теор. Імовір. Мат. Стат. - 2005.
6. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Розвязування лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі // Прикл. Статист. Актуарна та Фін. Матем. - 2003.
7. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Приблизні розвязки стохастичних диференціальних рівнянь з упередженням // Тези міжнародної конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, 6-9 червня, Київ." - K.: ВПЦ “Київський університет”, 2005.
8. Shevchenko G.M. Rate of convergence for approximations of solutions of ordinary and differential equations in Hilbert and Banach spaces // Тезисы международной конференции “Колмогоров и современная математика”, Москва, 16-21 июня, 2003. "- М.: Изд-во МГУ, 2003.