Вивчення застосування методу Фур"є до задач математичної фізики для гіперболічного рівняння. Дослідження оцінки розподілу супремуму розв"язання рівняння коливання струни та аналіз застосування отриманих результатів до моделювання розв"язання рівняння.
Аннотация к работе
Вивченням задач математичної фізики з випадковими факторами займалося багато науковців, серед яких Булдигін В.В., Козаченко Ю.В., Бейсенбаєв Е., Енджирглі М.В., Ковальчук Ю.О., Сливка Г.І. та інші. Булдигіним В.В та Козаченком Ю.В. був запропонований новий метод дослідження задач математичної фізики, який дозволяє обґрунтувати використання методу Фурє. Козаченко Ю.В. та Сливка Г.І. розглядали крайову задачу математичної фізики для однорідного гіперболічного рівняння у багатовимірному випадку зі строго-субгауссовими початковими умовами. Основним завданням дисертаційної роботи є розглянути першу крайову задачу математичної фізики для неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою строго-субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами, отримати умови застосування методу Фурє до цієї задачі, а також дослідити властивості її розвязку. В роботі вивчаються наступні задачі: • обґрунтування застосування методу Фурє до задач математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго-субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами;Перетворенням Юнга-Фенхеля функції або функцією, спряженою до , називається функція , яка визначається рівністю Випадкова величина належить простору-субгауссових випадкових величин, породженому N-функцією , якщо існує для всіх та існує константа , така що для всіх виконується нерівність Сімя випадкових величин з простору називається строго-субгауссовою, якщо існує стала така, що для будь-якої скінченої множини та для будь-яких виконується нерівність Для того, щоб з імовірністю існував двічі неперервно диференційовний розвязок поставленої задачі в області (-деяка константа), який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду достатньо, щоб для деякого виконувались умови: 1) існує таке, що збігається ряд. Для того, щоб з імовірністю існував двічі неперервно диференційовний розвязок поставленої задачі в області, який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду, достатньо, щоб виконувались умови: 1) У продовженої на всю площину по функції існують неперервні похідніЗнайдено умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розвязку гіперболічного рівняння математичної фізики з нульовими початковими та крайовими умовами та випадковою строго-субгауссовою правою частиною у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду. Для часткового випадку гіперболічного рівняння з правою частиною, що виражається спеціальним чином через однорідне-субгауссове випадкове поле, отримані умови існування розвязку в термінах спектральної функції цього поля. Встановлено умови існування узагальненого розвязку першої крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго-субгауссовою правою частиною. Для гіперболічного рівняння з нульовими початковими та крайовими умовами та випадковою строго-субгауссовою правою частиною одержано оцінки розподілу супремуму розвязку. Побудовано модель розвязку цього рівняння, що наближає його з наперед заданою надійністю та точністю в рівномірній нормі.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії -субгауссових випадкових процесів і застосуванню цієї теорії до дослідження задач математичної фізики з випадковими факторами.
Знайдено умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розвязку гіперболічного рівняння математичної фізики з нульовими початковими та крайовими умовами та випадковою строго -субгауссовою правою частиною у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду. Для часткового випадку гіперболічного рівняння з правою частиною, що виражається спеціальним чином через однорідне -субгауссове випадкове поле, отримані умови існування розвязку в термінах спектральної функції цього поля.
Встановлено умови існування узагальненого розвязку першої крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною.
Для гіперболічного рівняння з нульовими початковими та крайовими умовами та випадковою строго -субгауссовою правою частиною одержано оцінки розподілу супремуму розвязку. Побудовано модель розвязку цього рівняння, що наближає його з наперед заданою надійністю та точністю в рівномірній нормі.
РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
[1] Довгай Б.В. Обгрунтування методу Фурє для неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною // Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 616 - 624.
[2] Довгай Б.В. Властивості розвязку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною // Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 4. - С. 474 - 482.
[3] Довгай Б.В. Розвязування гіперболічного рівняння з гауссовою правою частиною спеціального вигляду методом Фурє // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки, - 2005, - Вип. № 3, - сс. 31-36.
[4] Dovgay B.V., Kozachenko Yu.V. The condition for application of Fourie method to the solution of nonhomogeneous string oscillation equation with -subgaussian right hand side // Random operators and stochastic equations, - 2005, - Vol. 13, No. 3, - pp. 281-296.
[5] Довгай Б.В., Козаченко Ю.В. Умови існування та оцінка розвязку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою гауссовою правою частиною // Тези конференції “Сучасні проблеми в прикладній статистиці, промисловій, актуарній та фінансовій математиці”, Донецьк 2004. - Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика, - 2003, - №1-2, сс.185-186.
[6] Довгай Б.В. Дослідження розвязку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференція імені академіка М.Кравчука, травень, - 2004, - Київ, - с. 592.
[7] Довгай Б.В., Козаченко Ю.В. Рівняння коливання неоднорідної струни з -субгауссовою правою частиною // Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, тези доповідей, червень, - 2005, - Київ, - с. 45.
[8] Довгай Б.В. Неоднорідне гіперболічне рівняння з випадковою -субгауссовою правою частиною // International conference “Modern problems and new trends in probability theory”, abstracts, june, - 2005, - Ghernivtsi, - Ukraine, pp. 71-72.
[9] Довгай Б.В. Застосування методу Фурє для гіперболічного рівняння з -субгауссовою правою частиною // Міжнародна конференція “Сучасна стохастика: теорія і застосування”, матеріали конференції, червень, -2006, - Київ, - сс. 30-31.