Розробка алгоритмів розв’язання задачі відновлення контактної границі, якщо поле представлено значеннями похідних логарифмічного потенціалу, заданими на істотно обмежених профілях. Аналіз коректності розв’язання на спеціально введеному класі Нумерова.
Аннотация к работе
Математично розвязання таких задач зводять в підсумку до розвязання оберненої задачі потенціалу для контактної поверхні. Через використання гармонічних наближень реального розподілу сили тяжіння сфера застосування цих задач обмежується областями малої міри з неглибоким заляганням джерел. Заморєва (точне обернення оператора рівняння в комплексній області за умови, що контактна границя є скінченною ундуляцією прямої на обмеженому інтервалі) послуговуються побудовами, які залежать окрім надлишкової густини від середньої глибини до контакту. Крім того, окреслений Нумеровим клас функцій, на якому розвязок нелінійного інтегрального рівняння контакту апроксимується розвязком лінійного рівняння, не забезпечує однозначного вирішення задачі. Досі теорію визначення контакту двох середовищ з постійною густиною розглядають із вхідними даними в континуальній області, а на практиці вхідні дані отримують із вимірів певних компонент поля на істотно коротких профілях.Як засіб дослідження внутрішньої будови Землі сформульовано математичну модель задачі на основі інтегрального подання фундаментального закону взаємодії поля і середовища. IMG_9e665ec5-087b-40dd-b973-01a32b1acd65 цих областей тотожно співпадають з крівлями першого і другого пластів; тоді гравітаційний вплив такої моделі буде еквівалентним ефекту від області IMG_8f83d87e-8d04-4e80-b1dc-3275a0d95636 і є її рівнянням на тій підставі, що відомими редукціями завжди можна звести виміряні значення сили тяжіння на рівень моря. Збудувати модель оберненої задачі для контакту безпосередньо на основі логарифмічного потенціалу неможливо через розбіжність інтегралу, який його зображує. Для забезпечення задовільної точності розвязків потрібно задавати функціюОписано методику вирішення лінійних інтегральних рівнянь із швидко спадаючими ядрами, призначених для відновлення контакту за полем, заданим на істотно обмежених профілях, проаналізовано особливості збіжності відповідних ітерацій на введеному класі Нумерова; наведено нову процедуру прискорення ітерацій. Так само, як і для процесу (16), вдаємось до еквівалентного зображення ітерацій. IMG_f760041f-7b1a-4563-b985-decc2693e3a2 породжується ітераційним процесом (20), то еквівалентна їй послідовність генерується за допомогою послідовних наближень Співставлення ітераційних процесів Лаврентьєва-Андреєва (16) і Лаврентьєва-Чорного (20) виявляє, що другий процес збігається швидше за перший майже вдвічі, але їх швидкості майже однакові за порядком. Практично процес (20) має перевагу над “андреєвським”: завдяки швидкому затуханню по горизонталі ядер перетворень (20) для відновлення з певною точністю наближень(24) дозволяють в разі точного задання його та правої частини без проблем будувати таку послідовність компактних операторів, яка збігається на певному елементі класу Скінченновимірну апроксимацію системи (24) здійснено методом проекцій. В ході регуляризації за Тихоновим ця система редукується до вирішення рівняння Ейлера Модельне поле, яке фігурує в правій частині всіх алгоритмів, отримане внаслідок розвязання прямої задачі, тобто обчислення поля, генерованого модельним контактом типу Іванова: IMG_e420e85d-566c-42c5-82af-a51557f0acbb Останні нерівнозначні за точністю і швидкодією Працездатність алгоритмів (16), (18) проілюстровано на модельних прикладах з параметрами: довжина профілю
Список литературы
У дисертації наведено теоретичне узагальнення і нове вирішення оберненої задачі потенціалу для контактної границі в лінеаризованій постановці. Головні наукові і практичні досягнення роботи: 1. Описано математичну модель задачі відновлення контакту на класі Нумерова за вертикальними похідними логарифмічного потенціалу у вигляді розвязків лінеаризованих інтегральних рівнянь Фредгольма 1-го роду. В їх узагальнених модифікаціях усунута залежність розвязків від апріорі невідомого параметра
IMG_623299bf-e8ab-48d0-91c9-0beef2fbc6f5 - середньої глибини до контакту. Доведено існування і єдиність розвязків на компактному класі єдиності
IMG_93f67ed5-a91f-4ac1-9c45-afcd9141648e . Модель задачі поширюється на магнітоактивні контакти.
2. Доведено, що відомі алгоритми, які базуються на виразах з інтегральним ядром Пуассона, не забезпечують прийнятної точності відновлення контакту за полем, заданим на коротких профілях, які властиві практиці спостережень. Для випадку задання значень поля на істотно короткому профілі для визначення контактної границі
IMG_b25748bf-a00b-45b6-91fd-77c42a1fdd78 запропоновано кілька алгоритмів, що базуються на інтегральних рівняннях із швидкозбіжним ядром типу Шварца. На основі рівнянь з ядрами Пуассона і Шварца введено два різних типи задач для відновлення контакту (з параметром
IMG_874a3f18-2759-4d3d-9c58-53e738747c88 та без нього). Вивчено структуру класу єдиності зазначених рівнянь. Доведено умовну коректність контактної задачі.
3. Для розвязання рівнянь кожного типу задач запропоновано збіжні ітераційні процеси Лаврентьєва-Андреєва (16) і Лаврентьєва-Чорного (20) та їх узагальнені аналоги (18) і (22). Практичною перевагою ітерацій (20), (22) є швидша збіжність та можливість задання значень контакту на короткому профілі. Збіжність усіх ітерацій обґрунтовано за новим способом, що базується на еквівалентному зображенні підінтегральних виразів в ітераційних процесах через узагальнені функції.
4. В ході дослідження вищезгаданих ітерацій поліпшено ітераційні способи уточнення нумерівського наближення контакту, запропоновані свого часу Андреєвим, Малкіним і Сеньком та запропоновано новий спосіб Нумерова-Маловичка і обґрунтовано стійкість уточнень. Ці способи можна використати для аналітичних апроксимацій поля в автоматизованих системах інтерпретації.
5. Надійне визначення контакту на довгих профілях забезпечене ефективним способом екстраполяції значень поля за межі профілю (на основі розкладення вищих похідних відомого інтеграла Пуассона у ряд Тейлора), який зведено до розвязання лінійного рівняння 1-го роду (19).
6. Для підвищення надійності обчислень запропоновано ефективний спосіб прискорення збіжності ітерацій на підставі математичних характеристик їх збіжності.
7. Для чисельного вирішення задачі розроблено регуляризуючі алгоритми на базі концепції регуляризації Тихонова. Модернізовано знаходження оптимального параметра регуляризації
IMG_6d8f370d-67f3-440a-ad92-d17203cb0c82 , мінімізовано похибки округлень. Створено пакет програм і перевірено на тестових задачах. Порівняння чисельних розвязків довело перевагу алгоритму (20) над алгоритмом (16). Досягнута точність розвязку
IMG_3765caa7-dcd4-416b-918f-7a7b8dcba6e3 при похибках прямого оператора
IMG_7cc6e27b-3d8d-40b0-9092-4c74de9295fd і спостережень
IMG_25db5bff-995d-43f0-8ff0-1a7ec98bbc81 задовільна для практичних застосувань.
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В НАСТУПНИХ РОБОТАХ: 1. Дослідження оберненої задачі потенціалу для контактної поверхні // Геофіз. журн. - 2002. - 24, № 3. - С. 77-92 (співавтор А.В. Чорний).
2. До теорії структурної задачі гравіметрії в комплексній площині // Доп. НАН України. - 2002, № 4. - С. 145-149 (співавтор А.В. Чорний).
3. Відновлення контактної границі в шаруватому середовищі // Геофіз. журн. - 2002. - 24, № 6. - С. 36-41.
4. Уточнення деяких способів наближеного визначення контактної межі // Доп. НАН України. - 2002, № 12. - С. 99-103 (співавтор А.В. Чорний).
5. Линейная граничная задача восстановления контакта по значениям поля, заданного на существенно ограниченных множествах // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 28-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского, Киев, 29 января - 2 февраля 2001 г. - Москва: ОИФЗ РАН, 2001 г., - С. 35-36.
6. Про структурну задачу гравіметрії // Геофізичний моніторинг небезпечних геологічних процесів та екологічного стану геологічного середовища: Матеріали ІІ-ої Міжнародної конференції для молодих вчених, Київ, 8-10 жовтня 2001 р. - Київ: Видавництво КУ, 2001 р., - С. 60-61 (співавтор А.В. Чорний).