Вищі симетрії та парасуперсиметрії еволюційних рівнянь - Автореферат

Зокрема, були практично відсутні скільки-небудь загальні результати про структуру алгебр Лі нестаціонарних локальних узагальнених симетрій таких рівнянь, а схема дослідження таких алгебр, запропонована А.М. Саме дослідженню структури цих алгебр Лі та отриманню ефективних засобів знаходження всіх їх елементів для випадку (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь загального вигляду (не обовязково інтегровних), а також невироджених слабко діагоналізовних систем таких рівнянь, і присвячено Розділи 1 і 2 дисертації. Зокрема, було виявлено приховану суперсиметрію для рівняння Дірака в деяких зовнішніх електромагнітних полях, наприклад в полі Кулона, а використання парасуперсиметрії дозволило досягти значних успіхів в побудові задовільної теорії масивних частинок спіну 1, яка розвивалася, зокрема, у роботах Ж. Ними було виявлено парасуперсиметрію запропонованого ними нового рівняння для масивної частинки спіну 1 для випадку постійного однорідного магнітного поля, тому цікаво було б зясувати, чи існує, за аналогією з рівнянням Дірака, парасуперсиметрія для частинки спіну 1 в полі Кулона, причому в силу існування аномалії Корбена-Швінгера для частинок спіну 1 доцільно розглянути дещо змінену модель - модифіковане рівняння Штюкельберга з гіромагнітним відношенням 2. Знайдено достатню умову відсутності поліноміальних по часу t (окрім стаціонарних) симетрій достатньо високого порядку для інтегровного (1 1)-вимірного еволюційного рівняння порядку не нижче двох з незалежними від t коефіцієнтами, що володіє нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, і з її допомогою знайдено всі локальні узагальнені симетрії рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КДФ та деяких інших важливих рівнянь математичної фізики.Розділ 1 присвячено аналізу загальної структури нестаціонарних узагальнених симетрій та формальних симетрій (1 1)-вимірних нелінійних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох та невироджених слабко діагоналізовних систем таких рівнянь. Ми будемо називати симетрію Q нестаціонарною (залежною від часу), якщо ¶G/¶t № 0. В підрозділі 1 Розділу 1 досліджено структуру розвязку визначальних рівнянь для похідної Фреше G узагальненої симетрії G, і зокрема показано, що для будь-якої симетрії G, ord G = k і n0, маємо Якщо матрицю F = ¶F/¶un можна діагоналізувати за допомогою деякої матриці W = W(x,t,u, u1,...), тобто матриця L = WFW-1 діагональна, L = diag (l1,..., ls), і, крім того, всі власні значення матриці F невироджені, тобто li № lj при i № j, будемо називати систему (5) слабко діагоналізовною, а якщо виконується додаткова умова DETF № 0, ми будемо називати відповідні системи (5) невиродженими слабко діагоналізовними. Якщо для рівняння (1) з ¶F/¶t = 0, ¶F/¶x = 0, (¶F/¶un)-1/n = a K(u,..., un), ~ ~ де a О В, a № 0, K О IMD, CF(K) О IMD, і всі симетрії з простору SF(n-2 n0)/BF є поліномами (або лінійними комбінаціями квазіполіномів) по t, то таку ж властивість мають усі симетрії цього рівняння з простору SF/BF.Знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності по часу узагальнених симетрій для широкого класу (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсувів по просторовій змінній x і по часу t, зокрема для рівнянь зі сталою сепарантою. Знайдено достатню умову відсутності поліноміальних по часу симетрій (крім стаціонарних) достатньо високого порядку для інтегровного (1 1)-вимірного еволюційного рівняння порядку не нижче двох з незалежними від часу t коефіцієнтами, що володіє нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, і з її допомогою знайдено всі локальні узагальнені симетрії рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КДФ та деяких інших важливих рівнянь математичної фізики. Описано загальний вигляд залежності від x узагальнених симетрій (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсуву по x. Подано узагальнення названих вище результатів на випадок невироджених слабко діагоналізовних систем (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох. Знайдено повний набір станів дискретного енергетичного спектра в полі Кулона для модифікованого рівняння Штюкельберга і виявлено приховану парасуперсиметрію при певних значеннях параметрів моделі.

Основний зміст роботи

1. Знайдено достатню умову (квазі)поліноміальності по часу узагальнених симетрій для широкого класу (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсувів по просторовій змінній x і по часу t, зокрема для рівнянь зі сталою сепарантою.

2. Знайдено достатню умову відсутності поліноміальних по часу симетрій (крім стаціонарних) достатньо високого порядку для інтегровного (1 1)-вимірного еволюційного рівняння порядку не нижче двох з незалежними від часу t коефіцієнтами, що володіє нетривіальними канонічними щільностями законів збереження, і з її допомогою знайдено всі локальні узагальнені симетрії рівняння Гаррі Дима, модифікованого рівняння КДФ та деяких інших важливих рівнянь математичної фізики.

3. Описано загальний вигляд залежності від x узагальнених симетрій (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох, інваріантних відносно зсуву по x.

4. Подано узагальнення названих вище результатів на випадок невироджених слабко діагоналізовних систем (1 1)-вимірних еволюційних рівнянь порядку не нижче двох.

5. Знайдено повний набір станів дискретного енергетичного спектра в полі Кулона для модифікованого рівняння Штюкельберга і виявлено приховану парасуперсиметрію при певних значеннях параметрів моделі.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах

1. Sergheyev A.G. A relativistic Coulomb problem for the modified Stueckelberg equation // Укр. фіз. журн. 1997. Т. 42, № 10. С. 1171-1174.

2. Sergheyev A.G. On time-dependent symmetries of evolution equations // Симетрійні та аналітичні методи в математичній фізиці: Праці Інституту математики НАНУ. 1998. Т. 19. С. 216-220.

3. Sergheyev A. Generalized symmetries of partial differential equations and quasiexact solvability // Rep. Math. Phys. 1998. V. 41, № 3. P. 279-286.

4. Sergyeyev A. On symmetries of KDV-like evolution equations // Rep. Math. Phys. 1999. V. 44, № 1/2. P. 183-190.

5. Сергєєв А.Г. Про структуру узагальнених симетрій нелінійних еволюційних рівнянь // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. 1999. № 3. C. 61-70.

6. Sergyeyev A. On local time-dependent symmetries of integrable evolution equations // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics: Праці Інституту математики НАНУ. 2000. Т. 30, Ч.1. С. 196-203.

7. Sergeyev A.G. On parasupersymmetries in a relativistic Coulomb problem for the modified Stueckelberg equation // Proc. 2nd Int. Conf. ``Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics"". Kyiv. 1997. Vol.2. P. 331-335.