Побудова ймовірнісного простору випадкових множин з марковськими подрібненнями. Вивчення питання сепарабельності за Матероном випадкових множин з марковськими подрібненнями. Імовірнісний підхід побудови ймовірнісного простору довільних замкнених множин.
Аннотация к работе
Математичне моделювання просторового розподілу такого роду стохастичних фізичних структур засновано на випадкових множинах у Дослідження проводилися в Інституті монокристалів НАН України, згідно з планами науково-дослідницьких робіт у рамках наступних тем: "Дослідження фрактальних властивостей неорганічних кристалів" (номер держ. реєстрації 0101U003718), "Дослідження ефектів нелінійності й хаотичності в конденсованих середовищах" (номер держ. реєстрації 0101U003489), "Дослідження нерівноважних фазових переходів у конденсованих середовищах", (номер держ. реєстрації 0198U004257). Мета роботи - створення методу ймовірнісного опису випадкових множин у R, реалізації яких з імовірністю одиниця замкнені (замкнені праворуч), мають потужність континуума і лебегову міру нуль, а також вивчення конкретних моделей таких випадкових множин, що в дисертації називаються випадковими множинами з марковськими подрібненнями. Побудувати ймовірнісний простір випадкових множин з марковськими подрібненнями. Предметом дослідження є спеціальний клас випадкових множин в R що називаються випадковими множинами з марковськими подрібненнями.IMG_e97c1303-8666-469e-bfdd-0c78bfc705d2 будемо називати будь-який імовірнісний простір У розділі 2 вводиться поняття про випадкові множини з марковськими подрібненнями, будується їх імовірнісний простір, встановлюється звязок між множинами з марковськими подрібненнями і марковськими гіллястими випадковими процесами з одним типом часток. Введено поняття стохастичної самоподоби випадкових множин і доведено, що множини з марковськими подрібненнями мають цю властивість. У звязку з цим, структура вимірності для множин з марковськими подрібненнями вводиться на основі випадкових подій IMG_0cbfcc37-52ba-4a10-a6cc-d5dccfde07cf , що відповідає випадковим множинам з марковськими подрібненнями визначається за допомогою завдання розподілів імовірностейIMG_9baabd5e-ea33-4a11-857f-1a383c9513f7 , що являють собою стохастичні фрактали та встановленню основних властивостей множин з марковськими подрібненнями. Доведено теорему про невипадковість фрактальної розмірності для довільних випадкових множин з марковськими подрібненнями. Доведено, що такі випадкові множини є, у загальному випадку, несепарабельними за означенням Матерона.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Дисертація присвячена створенню аналітичного апарату для ймовірнісного опису стохастичних геометричних структур в
IMG_9baabd5e-ea33-4a11-857f-1a383c9513f7 , що являють собою стохастичні фрактали та встановленню основних властивостей множин з марковськими подрібненнями. Перелічимо основні висновки, що витікають з результатів проведених досліджень.
Доведено теорему про невипадковість фрактальної розмірності для довільних випадкових множин з марковськими подрібненнями. Доведено, що такі випадкові множини є, у загальному випадку, несепарабельними за означенням Матерона.
Розроблений формалізм визначення розподілів імовірностей для побудови довільних випадкових замкнених множин в
IMG_91473700-f080-4a86-948a-f46463312ddb на основі часткових багатоінтервальних розподілів імовірностей. З цією метою було введено абстрактне поняття булівского предкільця і доведено теорему про однозначне продовження міри, заданої на предкільці, на мінімальну
IMG_b372d812-95fc-4e3d-9d14-c89950e04011 -алгебру, що його містить. Було встановлено, що сукупність випадкових подій, на основі яких повиннний будуватися розподіл імовірностей для випадкових множин, саме і складає булівське предкільце. Це дозволило ввести для випадкових множин у
IMG_2e1ce974-88cb-45bb-87dc-c6084e4f3e68 поняття багатоінтервальних розподілів імовірностей і довести для них аналог теореми колмогоровського типу про те, що повний набір часткових багатоінтервальних розподілів, звязаних умовами погодженості, однозначно визначає розподіл імовірностей для випадкових замкнених множин.
Список литературы
1. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Точечные случайные поля с марковскими измельчениями и геометрия фрактально неупорядоченных сред // Теор. и мат. физ. 2000. 124, №3. C. 490-505.
2. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Стохастические фракталы с марковскими измельчениями // Теор. и мат. физ. 2001. 128, № 2. C. 178-192.
3. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное моделирование фрактально структурированных сред // Научные ведомости, Белгород. 2001. №2(15). C. 73-76.
4. Вірченко Ю.П., Шпілінська О.Л., Динамічні системи фрагментаціі та стохастична геометрія фрактально неупорядкованих середовищ // Вісник Львівського Університету, сер.фіз. 2001. 34. C. 94-98.
5. Virchenko Yu.P., Shpilinskaya O.L. Stochastic Refinements and Nonseparable Random Structures // Problems of Atomic Science and Technology. Series Nuclear Physics Investigations. 2001. №6. P. 234- 237.
6. Virchenko Yu.P., Shpilinskaya O.L. Nonseparable random point sets and probabilistic modelling of fractally unordered solid media // Dopovidi NANU. 2003. №1. C. 58-63.
7. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное моделирование фрактально структурированных сред // Вісник Запорізьского Університету, фізико-математичні науки, біологічні науки. 2002. №1. C. 152-155.
8. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Несепарабельные фрактальные точечные случайные поля // Вестник Херсонского Государственного технического университета. 2002. №2 (15). C. 131-133.
9. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. О понятии фрактальной размерности точечных множеств в евклидовых пространствах // Вестник Херсонского государственного технического университета. 2003. 3 (19). C. 69-72.
10. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное пространство стохастических фракталов // Укр. матем. журн. 2004. 56, №11. C. 1467-1483.
IMG_95102304-5834-49d6-a9c3-c03c08ec270a // Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности. Международная Академия Наук Высшей Школы. Санкт-Петербургское отделение. Санкт-Петербург. 2005. С. 20-24.
12. Virchenko Yu.P., Shpilinskaya O.L. Marginal probability distributions of random sets in
IMG_9d1907e1-04f9-461d-bf07-842ebe9b7fd9 with markovian refinements // Theory of stochastic processes. 2005. 11 (27). №3-4. P. 121 - 130.
13. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л., Несепарабельные фрактальные точечные случайные поля // Труды XXIV Конференции молодых ученых (8-13 апреля 2002 г., Москва) М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Часть ІІ. 2002. С. 198-201.
14 Virchenko Yu.P., Shpilinskaya O.L. Random Point Fields with Markovian Refinements and the Stochastic Geometry of Fractally Disordered Media // Abastracts International Conference Kolmogorov and Contemporary Mathematics (Moscow, June 16-21, 2003) M.: MSU. 2003. P. 583.
15. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Математическая модель стохастического фрактала с неслучайной фрактальной размерностью // Материалы работы Воронежской математической зимней школы (19-24 января 2004г., Воронеж) В.: ВОРГУ. 2004. С. 31-33.
16. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Вероятностное пространство стохастических фракталов // Матеріали X Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (13-15 травня 2004р., Київ) К.: НТУУ (КПІ). 2004. С. 583.
17. Virchenko Yu.P., Shpilinskaya O.L. Distribution functions of random sets in
IMG_328f1fd3-42e1-4688-be34-4b16977a360c with markovian refinements // Abastracts International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory (Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005) K.: Inst. of Math. 2005. v.І. P. 49-50.
18. Вирченко Ю.П., Шпилинская О.Л. Редукционная формула для случайных множеств с марковскими измельчениями в
IMG_70e80517-62f8-4eea-abbb-7324d0597317 // Матеріали ХІ Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006р., Київ) К.: НТУУ (КПІ). 2006. С. 689.