Система зображення чисел у математиці. Умови використання геометричної прогресії в різноманітних системах числення. Ефективність кодування дійсних чисел та побудови відповідної метричної теорії Фібоначчі. Область застосування отриманих результатів.
Аннотация к работе
Сьогодні у математиці та її застосуваннях використовується багато різних систем зображення чисел. Природним способом введені лінійні операції на множині таких послідовностей перетворюють її на двовимірний лінійний простір, у якому різними способами можуть бути введені скалярний добуток, норма, метрика, міри Хаусдорфа дробових порядків, а також фрактальні розмірності, зокрема, розмірність Хаусдорфа-Безиковича. Серед систем зображення дійсних чисел багатий клас утворюють двосимвольні системи (системи з двосимвольним алфавітом), які прийнято вважати зручними в технічному відношенні. Ввести в лінійному просторі послідовностей Фібоначчі природні неевклідові норму та метрику і на їх основі побудувати міру Хаусдорфа дробового порядку, означити розмірність Хаусдорфа-Безиковича, дослідити топологометричні, самоподібні і фрактальні властивості деяких множин; Вивчити систему представлення дійсних чисел підсумами ряду, елементами якого є числа, обернені членам класичної послідовності Фібоначчі;У вступі проведено огляд робіт, повязаних з темою дисертаційного дослідження, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та завдання дослідження. Простір послідовностей Фібоначчі та його підпростори є підготовчим для побудови метричної теорії дійсних чисел, зображених з допомогою послідовностей Фібоначчі. У ньому вивчаються властивості довільних послідовностей Фібоначчі, досліджуються структури в двовимірному лінійному просторі послідовностей Фібоначчі, доводиться, що нескінченно малі послідовності Фібоначчі утворюють одновимірний підпростір. В просторі послідовностей Фібоначчі розглядається оператор зсуву (на елемент послідовності): IMG_6f990ba4-a96c-43df-9e0f-12ba2b7d071a У просторі послідовностей вводяться до розгляду дві метрики: IMG_2f6317ea-4e0d-4876-af0c-da5122605117 Зображення дійсних чисел і фрактали з ним повязані досліджується зображення чисел підсумами (неповними сумами) ряду, елементами якого є числа, обернені до членів класичної послідовності Фібоначчі: $-ряду.Нескінченно мала послідовність Фібоначчі з першим членом породжує систему числення з відємною ірраціональною основою (зображення), яка має відносно просту геометрію. Зображення чисел підсумами ряду (зображення), членами якого є числа, обернені до елементів класичної послідовності Фібоначчі, породжує двосимвольну систему з ненульовою надлишковістю і складною геометрією, в основі якої лежать неоднорідні співвідношення між членами та залишками ряду. У своїй роботі ми вивчали геометрію двох вказаних систем зображення дійсних чисел, зясували геометричний зміст цифр (символів), описали властивості циліндричних множин, специфіку їх перекриттів, вивчили їх метричні відношення.
План
. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Числові послідовності Фібоначчі є ефективним засобом для кодування дійсних чисел і побудови відповідної метричної теорії. Нескінченно мала послідовність Фібоначчі з першим членом породжує систему числення з відємною ірраціональною основою (зображення), яка має відносно просту геометрію. Ця система має двосимвольний алфавіт і ненульову надлишковість, що є важливим у питаннях кодування та технічного її використання. Зображення чисел підсумами ряду (зображення), членами якого є числа, обернені до елементів класичної послідовності Фібоначчі, породжує двосимвольну систему з ненульовою надлишковістю і складною геометрією, в основі якої лежать неоднорідні співвідношення між членами та залишками ряду. У своїй роботі ми вивчали геометрію двох вказаних систем зображення дійсних чисел, зясували геометричний зміст цифр (символів), описали властивості циліндричних множин, специфіку їх перекриттів, вивчили їх метричні відношення. Принциповою відмінністю цих систем числення є те, що кожна точка досліджуваного відрізка має континуальну кількість різних зображень, тоді як існують числа, що мають лише зліченну кількість різних -зображень. Кожна з систем дозволяє формально просто задавати математичні обєкти зі складною локальною будовою (фрактальні множини, сингулярні міри, неперервні недиференційовні функції тощо).
Отримані результати дозволяють розвивати далі метричну теорію зображень дійсних чисел у даних системах, проводити фрактальний аналіз множин з умовами на використання символів, використовувати систему циліндричних множин для еквівалентного означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича, будувати фрактальні системи координат на прямій, вивчати динамічні системи, породжені символьною динамікою тощо. Цікавим напрямом досліджень могла би бути фрактальна геометрія в метричному просторі послідовностей Фібоначчі з метрикою. Якщо розгляд вказаної нескінченно малої послідовності Фібоначчі в якості твірної послідовності для побудови системи числення в підпросторі нескінченно малих послідовностей Фібоначчі вичерпує інтерес до таких, то вважаємо перспективним використання довільної знакододатної послідовності для подання дійсних чисел підсумами відповідних рядів. математика геометричний числення
Вважаємо, що результати третього розділу мали би бути цікавими фахівцям в області нескінченних згорток Бернуллі та їх узагальнень.
Список литературы
1. Самкіна Н.М. Факторіальна система числення та повязані з нею розподіли ймовірностей / Н.М. Самкіна, О.В. Школьний // Фрактальний аналіз та суміжні питання. - 1998. - №2. - С. 157-165.
2. Василенко Н.М. Фібоначчієві подання дійсних чисел / Н.М. Василенко // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз. мат. науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2005. - 6. - С. 261-271.
3. Василенко Н.М. Деякі метричні співвідношення, породжені - зображенням дійсних чисел / Н.М. Василенко // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз. мат. науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2006. - 7. - С. 190-203.
4. Василенко Н.М. Математичні структури в просторі послідовностей Фібоначчі / Н.М. Василенко, М.В. Працьовитий // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз. мат. науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2008. - 9. - С. 129-150.
5. Василенко Н.М. Фібоначчієві представлення дійсних чисел / Н.М. Василенко // Матеріали наукової конференції Фрактали і сучасна математика - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2005. - С. 26-27.
6. Василенко Н.М. Числа Фібоначчі та представлення з ними повязані / Н.М. Василенко // Матеріали одинадцятої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука, 18-20 травня, 2006 р., Київ. - К.: ТОВ Задруга, 2006. - С. 358.
7. Vasylenko N. Fibonacci representation of real numbers / N.M. Vasylenko // International conference materials Modern Stochastics: Theory and Applications, June 19-23, 2006, Kyiv. - K.: Kyiv National Taras Shevchenko University, 2006. - P. 268.
8. Василенко Н.М. Деякі оцінки основного метричного відношення для чисел, представлених у фібоначчієвій системі числення / Н.М. Василенко // Матеріали наукової конференції присвяченої памяті доктора фіз. мат. наук, професора С.С. Левіщенка. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2006. - С. 26-27, 29-31.
9. Vasylenko N. Fibonacci representations for real numbers and related probability distributions / N.M. Vasylenko // International conference Skorokhod Space. 50 Years On, Kyiv, June 17-23, 2007. Abstracts. - Book 2, Sect. 7-8. - Kyiv: Institute of Mathematics of National academy of Sciences of Ukraine. 2007. - P. 173-174.