Системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве. Размерность и подпространства линейного пространства. Оптимизационные задачи линейного программирования. Суть симплекс-метода.
Аннотация к работе
Из всех разделов алгебраической науки одним из наиболее разработанных является раздел, называемый линейной алгеброй. Линейная алгебра изучает матрицы (прямоугольные таблицы из чисел), алгебраические формы (линейные, билинейные и квадратичные), линейные пространства с линейными преобразованиями в них. Ее аппаратом, не говоря уже о самой математике, пользуются естественные, технические, экономические, нередко и гуманитарные науки. Одной из характерных особенностей линейной алгебры является то, что данная наука свободно пользуется геометрическим языком. Здесь встречаются такие термины, как вектор, векторное пространство, скалярное произведение, евклидово пространство, ортогональность и другие. Суммой а b двух векторов называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а. Определенная данным образом операция сложения векторов на множестве векторов обладает свойствами коммутативности (1), ассоциативности (2), наличием нейтрального (3) и симметричного элементов (4). Если два вектора а и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={X1, Y1, Z1} и b={X2, Y2, Z2}, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. аb=X1X2 Y1Y2 Z1Z2 На этом мы завершим небольшой обзор курса аналитической геометрии в части операций над свободными векторами. 1.2 Линейные пространства: понятие, примеры, свойства В настоящей части рассмотрим множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами. Множество V элементов x, y, z, … любой природы называется линейным (или векторным, или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования. 1. Операции сложения элементов множества Аn и умножения этих элементов на вещественные числа определяются правилами: (x1, x2, …, xn) (y1, y2, …, yn)= (x1 y1, x2 y2, …, xn yn) ?(x1, x2, …, xn) = (?x1, ?x2, …, ?xn) нулевым элементом Аn является нулевой вектор 0=(0, 0, …, 0) противоположным элементом x=(x1, x2, …, xn) является элемент (-x1, - x2, …, - xn) Пример 4. Подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства V в том случае, если L удовлетворяет следующим двум требованиям: 1? Если элементы a и b принадлежат L, то и сумма a b принадлежит L.