Побудування математичної моделі дифузії на площині з напівпрозорими мембранами, що розташовані на двох прямих, які перетинаються. Побудова різними методами узагальненого дифузійного процесу на площині з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу.
Аннотация к работе
Якщо ж в середовищі є мембрана, що розташована на деякій поверхні, то звичайний дифузійний процес слід збурити векторним полем макроскопічних швидкостей, що має структуру зосередженої на цій поверхні d-функції. Коли ж такий процес потрапляє на поверхню, де розташована мембрана, він дістає певний імпульс, який повинен бути нескінченно великим за модулем, але таким, щоб траєкторії руху частинки залишались неперервними. Слід зазначити, що в цій роботі, а також в роботі [2], побудовано процеси у середовищах з мембранами на гладеньких поверхнях. Процесом, який збурюється, буде вінерів процес, тобто дифузійний процес з одиничною матрицею дифузії та нульовим вектором переносу. Аналітичний метод побудови полягає у збуренні узагальненого дифузійного процесу з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу з d-функцією, зосередженою на одній прямій, векторним полем, що має характер d-функції, зосередженої на іншій прямій.Метод побудови шуканого процесу полягає у збуренні узагальненого дифузійного процесу з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу з d-функцією, зосередженою на одній прямій векторним полем, що має характер d-функції, зосередженої на іншій прямій. У підрозділі 2.1 розглядається випадок, коли прямі перетинаються під прямим кутом, а мембрана діє по нормалі. Тоді існує неперервний процес Маркова, який є узагальненим дифузійним з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу n<1q2(x)d> Його ми підставляємо в рівняння (2) і доводимо, що за умови |qi|Ј1, і=1,2, розвязок рівняння (2) визначає невідємну напівгрупу операторів, яка породжує однорідний процес Маркова. В підрозділі 2.3 ми повертаємось до задачі побудови процесу з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу вигляду (1), розглядаючи на цей раз випадок, коли прямі S1 та S2 перетинаються не під прямим кутом, коефіцієнти прозорості q1(x) та q2(x) сталі, а a(x) та b(x) дорівнюють нулю.В дисертаційній роботі побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих, які перетинаються. Аналітичним методом було побудовано процес у випадках: · ортогональних прямих, змінних коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі; За допомогою методу косих добутків побудовано процес у випадках: · відбиття, що відбувається на сторонах деякого кута; Таким чином, у випадку неортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембрани по нормалі задача була розвязана обома методами. З іншого боку, за допомогою аналітичних методів вдалося розвязати більш загальні задачі, ніж ймовірнісними методами - це випадок, коли мембрана діє не по нормалі на одній з прямих, а також випадок змінних коефіцієнтів прозорості.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
В дисертаційній роботі побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих, які перетинаються. Запропоновано два методи побудови: аналітичний та ймовірнісний (метод косих добутків).
Аналітичним методом було побудовано процес у випадках: · ортогональних прямих, змінних коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі;
· неортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі;
· ортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран не по нормалі на одній з прямих.
За допомогою методу косих добутків побудовано процес у випадках: · відбиття, що відбувається на сторонах деякого кута;
· прямих, які перетинаються під довільним кутом, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі.
Таким чином, у випадку неортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембрани по нормалі задача була розвязана обома методами. При цьому зясувалося, що метод косих добутків має переваги перед аналітичним, тому що не вимагає накладання додаткових умов на кут між прямими. Треба вказати також на простоту, з якою шуканий процес побудовано методом косих добутків. Це пояснюється тим, що побудований процес майже напевне не досягає точки перетину прямих.
З іншого боку, за допомогою аналітичних методів вдалося розвязати більш загальні задачі, ніж ймовірнісними методами - це випадок, коли мембрана діє не по нормалі на одній з прямих, а також випадок змінних коефіцієнтів прозорості.
Основні результати дисертації опубліковані в роботах
1. Панамарчук О.В. Дифузійний процес на площині з мембранами на двох прямих, що перетинаються // Укр. мат. журн. - 1999. - №9 - С. 1210-1216.
2. Арясова О.В. Дифузія на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих // Нелінійні коливання. - 1999. - T. 2, №4. - С. 439 - 447.
3. Арясова О.В., Портенко М.I. Вінерів процес на площині з мембранами на двох прямих як косий добуток двох випадкових процесів: модуля та фази // Нелінійні коливання. - 2000. - T. 3, №1. - С. 7 - 12.
4. Panamarchuk O.V. Diffusion process in the wedge with membranes on its sides // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Math. Statistics. - Kyiv. - 1999. - P. 113.
5. Арясова О.В. Вінерів процес на площині з мембранами на двох прямих // Матеріали VIII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2000. - C.405.
Арясова О.В. Вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих, які перетинаються. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2000.
В дисертації аналітичним та ймовірнісним методами побудовано узагальнений дифузійний процес на площині з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу з d-функціями, зосередженими на двох прямих, які перетинаються. При побудові аналітичним методом одержується інтегральне рівняння типу Вольтерра, для якого метод послідовних наближень набуває нетрадиційного вигляду. Ймовірнісним методом шуканий процес конструюється у вигляді косого добутку двох випадкових процесів: модуля та фази. Доведено, що напівгрупа операторів, яка відповідає побудованому процесу, є розвязком деякої параболічної крайової задачі (задачі спряження).
Aryasova O.V. A Wiener process on a plane with semipermeable membranes that are situated on two intersecting straight lines. - Manuscript.
Thesis for a candidates degree by speciality 01.01.05 - probability theory and mathematical statistics. - Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.
A generalized diffusion process on a plane is constructed both analytic and probabilistic methods such that its diffusion matrix is an identity matrix and its drift vector is a linear combination of two d-functions concentrated on two intersecting staight lines. When constructing the process desired by analytic method the Volterra type equation arises. The method of seccessive approximations is unusual for this equation. When applying the probabilistic method we construct the process as a skew product of two random processes: modulus and phase. It is proved that the semigroup of operators corresponding to the process constructed is a solution of a parabolic boundary problem (conjugation problem).
Key words: generalized diffusion process, Wiener process, semipermeable membrane, semigroup of operators.
Арясова О.В. Винеровский процесс на плоскости с полупрозрачными мембранами на двух пересекающихся прямых. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2000.
В диссертации аналитическим и вероятностным методами построен обобщенный диффузионный процесс на плоскости с единичной матрицей диффузии и вектором переноса с d-функциями, сосредоточенными на двух пересекающихся прямых. Для аналитического метода построения стартовым является обобщенный диффузионный процесс с единичной матрицей диффузии и вектором переноса с d-функцией, сосредоточенной на одной из прямых. Мы возмущаем его векторным полем, которое имеет характер d-функции, сосредоточенной на другой из прямых. При этом мы получаем интегральное уравнение типа Вольтерра, для которого метод последовательных приближений приобретает нетрадиционный вид. С помощью вероятностного метода мы конструируем искомый процесс в виде косого произведения двух случайных процессов: один из которых - модуль стандартного двумерного винеровского процесса, а второй - винеровский процесс на интервале с отражением на его концах, или винеровский процесс на прямой с полупрозрачными мембранами в точках некоторого счетного множества. Траектории этих одномерных процессов мы строим как решения стохастических дифференциальных уравнений. С помощью аналитического метода процесс построен в таких случаях: ортогональных прямых, переменных коэффициентов прозрачности и действия мембран по нормалям; неортогональних прямых, постоянных коэффициентов прозрачности и действия мембран по нормалям; ортогональных прямых, постоянных коэффициентов прозрачности и действия мембраны на одной из прямых не по нормали. Методом косых произведений процесс построен в случаях: прямых, пересекающихся под произвольным углом, постоянных коэффициентов прозрачности и действия мембран по нормалям, а также в случае, когда непрозрачные мембраны расположены на сторонах некоторого угла. Доказано, что полугруппа операторов, соответствующая построенному процессу, является решением некоторой параболической краевой задачи (задачи сопряжения).