Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения. Алгебраические и частотные критерии постоянства. Особенность использования коэффициентов Рауса и Гурвица. Анализ оценки неизменности замкнутой системы. Суть выделения областей стабильности.
Аннотация к работе
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯВ процессе функционирования система подвергается различного рода возмущающим воздействиям, которые вызывают отклонения ее от положения равновесия или заданного движения. Система автоматического управления называется устойчивой, если после прекращения действия возмущений, вызвавших ее отклонение от положения равновесия, она возвращается в это положение равновесия или заданного движения. Пусть САУ описывается системой нелинейных стационарных дифференциальных уравнений вида где yk-переменные состояния системы; В частном случае, когда система стационарна и функции Yk явно не зависят от времени, тогда движения (3.3) являются установившимися. В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения системы, имеющей решение (3.3), рассматривая ее установившееся движение как частный случай.Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам: по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до an в порядке возрастания индексов; Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка. Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.Если li, i=1,2,...n-корни этого уравнения, то Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем ?li?, проведенного из начала координат (рис.3.4). При изменении частоты от-? до ? каждый вектор (jw - li), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол p , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол-p. Изменение аргумента вектора D(jw) при изменении частоты от-? до ? равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на p . Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до ? вектор D(jw) повернется на угол np/2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с положительной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов и заканчивается в n-ом квадранте (рис.3.5). Система может находиться на границе устойчивости и этому соответствуют два случая: характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень, что будет при an=0; кривая Михайлова при этом выходит из начала координат;Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость. Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D - областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D - разбиением. Для построения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии с необходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров при нахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны.
План
Оглавление
1. Основные понятия теории устойчивости
1.1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения