Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений. Общие теоремы об устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений. Применение теории устойчивости, методы решения задач об устойчивости движения.
Аннотация к работе
Министерство образования и науки Российской Федерации Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения Высшего профессионального образованияРешения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе с тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров.Пусть x = x (t) и y = y (t) - решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям Пусть далее, - решения уравнений (1), удовлетворяющие начальным условиям Решения x = x (t) и y = y (t), удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям (1’), называются устойчивыми поДифференцируем первое уравнение и исключаем y и на основании уравнений системы или (5) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: Из уравнения (5) находим: Зная x, из первого уравнения (2) находим y. Подберем так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям: Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет: (9) Решения (8) и (9) системы (4) будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости XOY: (11) Не производя в дальнейшем полного анализа характера расположения интегральных кривых вблизи особой точки на фазовой плоскости при всех возможных случаях корней характеристического уравнения, ограничимся иллюстрацией этого на простейших примерах, не требующих проведения громоздких вычислений.Это значит, что для каждого существует такое, что для любого решения y=y (t) системы (26) при справедливо неравенство если только Но, как известно, является решением линейной однородной системы (27), причем любое решение x (t) может быть представлено в виде (30). Таким образом, неравенства (28) и (29) эквивалентны следующим: если только Отсюда вытекает, что тривиальное решение соответствующей однородной системы (27) устойчиво по Ляпунову при . Тогда, если - произвольное решение однородной системы такое, что то Следовательно, если - некоторое решение линейной неоднородной системы (26) и - произвольное решение этой системы, то из неравенства будет вытекать неравенство Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое ее решение. Линейную дифференциальную систему (26) назовем равномерно устойчивой, если все решения этой системы равномерно устойчивы при относительно начального момента .Проблему устойчивости движения исследовали многие выдающиеся математики от Ж. Ляпунов предложил новые общие строгие методы решения задач об устойчивости движения. Один из этих методов, основывающийся на понятии так называемой функции Ляпунова, позволил ему получить важные по своим применениям критерии устойчивости решения.Решение задачи об устойчивости движения материальных систем, сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений. В данной курсовой работе мы рассмотрели вопрос об устойчивости решений линейных систем дифференциальных уравнений по Ляпунову. Слова "не сильно отличается" при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову , асимптотическую устойчивость и т.д.
План
Содержание
Введение
1. Понятие о теории устойчивости Ляпунова
1.1 Определение понятия устойчивости по Ляпунову
1.2 Устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений по Ляпунову
1.3 Общие теоремы об устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений