Разработка алгоритма статистического моделирования. Вычисление характеристик выборки. Формирование статистического ряда и графическое представление данных. Подбор подходящего закона распределения вероятностей. Определение характеристик надежности системы.
Аннотация к работе
Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов Техническая система S состоит из трех элементов схемы, соединения которых приведены в вариантах заданий на курсовую работу (приложение А).Разработка математических моделей и методов, позволяющих определить время безотказной работы системы аналитически, является сложной, а подчас и неразрешимой задачей. С этой целью часто используется метод статистического моделирования с последующей обработкой результатов эксперимента. Суть метода проста - имитируется “жизнь” системы при многократном повторении испытаний.Согласно схеме, сначала работают элементы 1 и 3, а элемент 2 находится в резерве. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Законы распределения времени безотказной работы элементов и воздействия внешней среды сведены в таблицу 1. В таблице 1 приняты следующие обозначения законов распределения: - N - нормальное распределение; Колонка G служит для значений случайной величины Y, а колонка Н-для значений случайной величины Z.Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс. Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными. Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например в ячейки Al : J10. Значения вычисляемых характеристик будем располагать в ячейках с G12 по G19, как показано в таблице 4.3. Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам: - выборочное среднее: G12 = СРЗНАЧ (А1 : J10), - выборочная дисперсия: G13 = ДИСП (Al : J10), - выборочное среднее квадратическое отклонение: G14 = СТАНДОТКЛОН(Al : J10) ИЛИ G14 = КОРЕНЬ(G13), - наименьшее значение: G15 = МИН(А1: J10), - наибольшее значение: G16 = МАКС (Al : J10), - размах выборки: G17 = G16 - G15, - асимметрия: G18 = СКОС (Al : J10), - эксцесс: G19 = ЭКСЦЕСС(Al : J10).Числовая ось разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности: - наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее - в большую сторону до "хороших" чисел xmin и хмах ; выбирается количество групп k , удовлетворяющее неравенству 6 <k <20; иногда оно определяется по формуле . ,k находятся: а) частоты пі, т. е. число выборочных значений, попавших в интервал; Для заполнения колонки Е следует выделить ячейки Е26 : Е35 и обратиться к функции ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: {= ЧАСТОТА (А1:J10; С26:С35)}.Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их некоторые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины X было равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X - выборочному среднему квадратическому отклонению. Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами: , , , и запишем их в ячейки: B5 = А2 - В2·КОРЕНЬ(3), B6 = А2 В2·КОРЕНЬ(3), B8 = А2, B9 = В2, B11 = (А2/В2)^2, B12 = В2^2/А2. В ячейках А15 : А24 содержатся середины частичных интервалов, взятые из ячеек D26 : D35 предыдущего листа. В ячейках В15 : В24 вычислены плотности относительных частот как частное от деления относительных частот предыдущего листа (ячейки F26 : F35) на шаг (ячейка $F$23).В разделе 2.3 было установлено, что случайная величина Z принадлежит множеству Г(244.64;0.089) с плотностью распределения вероятностей: (3) Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение времени t. Вероятность безотказной работы вычисляется по формуле: . В ячейках А71 : А91 запишем значения аргумента t, изменяющегося от 0 до 27 часов с шагом 1 час. Так как случайная величина Z имеет нормальное распределение, то в ячейку В71 записывается формула: В71 = 1 - НОРМРАСП(А71; $В$8; $В$9; ИСТИНА), которая затем копируется в ячейки В72 : В98 (таблица 3.7).В данной курсовой работе изучили методы статистического моделирования применительно к задачам нахождения законов распределения времени безотказной работы и показателей надежности технических систем с использованием прикладных программных средств. Разработали алгоритмы разыгрывания случайных величин Х1,Х2,Х3 и V с использованием генераторов случайных чисел, содержащихся в Microsoft Excel.
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Разработка алгоритма статистического моделирования
2. Статистическая обработка данных
2.1 Вычисление основных характеристик выборки
2.2 Формирование статистического ряда и графическое представление данных
2.3 Подбор подходящего закона распределения вероятностей