Використання методу усереднення для вивчення розв"язності крайових задач для деяких класів нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з повільними та швидкими рухами. Теорія нелінійних коливань. Математична теорія багаточастотних систем.
Аннотация к работе
Національна академія наук УкраїниАВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник - академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор інституту Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович, Київський національний університет ім.Т.Шевченка, декан механіко-математичного факультету; кандидат фізико-математичних наук, доцент КОРОЛЬ Ігор Іванович, Ужгородський національний університет, доцент кафедри диференціальних рівнянь і математичної фізикиРезультати таких досліджень висвітлено у працях А.Б.Васильєвої та В.Ф.Бутузова, І.Т.Кігурадзе, А.Я.Лєпіна і Л.А.Лєпіна, Н.І.Васильєва і Ю.А.Клокова, А.М.Самойленка і О.А.Бойчука, А.Ю.Лучки, М.О.Перестюка і А.М.Ронто та ін. Але цей метод поки що не знайшов належного застосування у крайових задачах для систем з повільними та швидкими змінними. Проаналізувавши наукові дослідження стосовно обгрунтування методу усереднення в крайових задачах для звичайних диференціальних рівнянь, можна зробити висновок, що найповніші результати одержано для рівнянь стандартного вигляду та деяких класів рівнянь з повільними та швидкими рухами і оператором усереднення вздовж породжуючого розвязку. Дослідження дисертаційної роботи розпочаті в рамках теми "Якісні і конструктивні методи дослідження систем з післядією та їх застосування" (N держреєстрації 0199U001909), що виконувалась на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького університету в 1996-2000 роках, і були продовжені в рамках науково дослідної роботи "Обгрунтування асимптотичних методів дослідження нелінійних диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь" (N держреєстрації 0100U005501), яка входить до координаційного плану наукових досліджень міністерства освіти і науки України з напрямку "Геометричні та аналітичні методи в математиці та їх застосування". У дисертації вперше одержано такі наукові результати: - доведено існування розвязків крайових задач для резонансних ситем із залежними від повільних змінних частотами і вивчено залежність похибки методу усереднення від малого параметра, а при відсутності резонансів у нульовому наближенні встановлено також єдиність розвязку;Основними новими результатами дисертації є наступні: - доведено існування розвязків крайових задач для резонансних систем із залежними від повільних змінних частотами і вивчено залежність похибки методу усереднення від малого параметра, а при відсутності резонансів у нульовому наближенні встановлено також єдиність розвязку; встановлено розвязність багатоточкових крайових задач з параметрами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу", у випадках як лінійної, так і нелінійної залежності крайових умов та рівнянь від параметрів; знайдено достатні умови існування та єдиності розвязків крайових задач з інтегральними крайовими умовами та параметрами, причому усереднена задача будується шляхом усереднення не тільки диференціальних рівнянь, але й крайових умов; одержано умови розвязності крайових задач (в тому числі і з параметрами) для імпульсних систем з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами. Запропоновані підходи розвязання крайових задач для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами можуть бути поширені і узагальнені на нові класи диференціальних рівнянь у різних функціональних просторах, а також використані при вивченні практичних задач теорії нелінійних коливань.