Модель дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Асимптотична поведінка розв’язків початково-крайової задачі. Моделі коливань пружних середовищ з великим числом важких абсолютно твердих включень.
Аннотация к работе
Національна Академія Наук України Фізико-технічний інститут низьких температур ім.Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Захист відбудеться 29.12.2003 р. о _14____ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І. З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур, м.У багатьох прикладних задачах виникає необхідність вивчення моделей середовищ з великим числом неоднорідностей (включень, пор, тріщин і т.д.). З математичної точки зору, в теорії усереднення ми маємо справу з крайовими задачами, що складним чином залежать від малого (великого) параметра (наприклад, коефіцієнти рівнянь - періодичні функції з малим періодом, або область перфорована великим числом “дірок”), і основне питання полягає у вивченні асимптотичної поведінки розвязків цих задач за параметром. До іншого важливого напрямку, що тісно повязаний з задачами в перфорованих областях, відносяться питання усереднення рівнянь з швидкозмінними коефіцієнтами. Таку модель розглянуто в першому розділі дисертації, де припускається, що тензор коефіцієнтів дифузії вироджується на множині асимптотично повної міри. Предметом дослідження є асимптотична поведінка розвязків початково-крайових задач для рівняння дифузії і реакції-дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що не задовольняє умові рівномірної еліптичності; асимптотична поведінка власних значень і власних векторів задачі, що описує власні коливання пружних середовищ з великою кількістю важких абсолютно твердих включень, а також розвязків нестаціонарної початково-крайової задачі, що описує вільні коливання таких середовищ.Говоритимемо, що сімя областей задовольняє SC-умову, якщо для довільної послідовності {u}, що задовольняє оцінку і кожного M=1,2,… існує сімя множин, таких що (де Lip(M,Q) позначає клас неперервних в Q функцій u, що задовольняють для довільних x,YЄQ нерівностям |u(x)|<M, |u(x)-u(y)|<M|x-y|), і для достатньо малих ?. Послідовність функцій збігається до функції u, якщо існує апроксимуюча послідовність {UMЄLIP(M,?)}, що збігається сильно в ? до функції u при M>? Тоді, для всіх t є (0,T) розвязки задачі (1) збігаються сильно в до tf1(x) (при ?>0) і збігаються до розвязку u(t,x) наступної початково-крайової задачі де “*” позначає згортку за змінним t, а - аналітична за ? функція, що співпадає з b для дійсних ?>0 і x є ?. Нехай функція g в (6) задовольняє умови (B1), (B2); сімя функцій h є обмеженою; початкові дані задовольняють нерівність з константою A2, що не залежить від ?; послідовності функцій та двохмасштабно збігаються до h=h(x,y), та U=U(x,y), відповідно; норми h та U в L2 прямують до норм h та U, відповідно. Якщо k(e)/e=p тоді, для всіх t, розвязки u задачі (6) двохмасштабно збігаються до розвязку u=u(t,x) задачі u/Dt-div(gradu) g(u)=S(u) u=0 x є DG u(0)=U x є G де тензор визначається через (8) - (9) .В дисертаційній роботі вивчено три моделі сильно неоднорідних середовищ, що виказують ефект памяті. У всіх трьох моделях цей ефект зявляється при усередненні, тоді як вихідні нестаціонарні задачі є локальними за часом. В роботі: Досліджено модель дифузії з тензором коефіцієнтів дифузії, що вироджується на множині асимптотично повної міри. Вивчено асимптотичну поведінку розвязків відповідної початково-крайової задачі і показано, що головний член асимптотик описується усередненою моделлю з памяттю. На відміну від лінійних задач, ефект памяті в цій усередненій моделі є нелінійним, відповідний член рівнянь не може бути зведений до інтегро-диференціального оператора типу згортки, як в лінійному випадку.