Решение уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной форме, а также расчет электрического поля. Рассмотрение уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики. Ознакомление с формулами Остроградского-Гаусса и Стокса.
Аннотация к работе
В данной работе рассматриваются уравнения Максвелла и методы их решения при заданных источниках, приведен пример. Система уравнений, состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учета релятивистских и квантовых эффектов). С такой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описать механическое движение газов, жидкостей и твердых тел. Чтобы обойти эту трудность физикам приходилось строить определенные модели механических систем: модель абсолютно твердого тела, модель сплошной среды и др. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходится вводить некоторые модели.Система уравнений, состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учета релятивистских и квантовых эффектов). Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения: (1) Первое из этих уравнений связывает значение с изменениями вектора во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. В связи с тем, что вектор зависит, вообще говоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знаком интеграла символ частной производной по времени (интеграл является функцией только времени). Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора для случая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где ротор вектора равен в каждой точке плотности тока проводимости: (8) где вектор связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности: (9)Соотношение (16) в этом случае можно записать виде: здесь - нормаль к границе раздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора Выражения (18) и (19) - граничные условия для нормальных составляющих векторов и получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Используя теорему Стокса, получим: Перепишем это уравнение в виде: Здесь и соответственно в средах 1 и 2, - единичный вектор, касательный к поверхности раздела, - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1. Так как граничное условие является следствием уравнения (2), то по аналогии находим: Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока: Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид: где - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.Пусть f (x, y, z) - некоторая функция, а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Интегрируя вдоль этого отрезка получим: где и - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка. Пусть DS1 и DS2 элементарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а 1 и 2-единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Суммируя эти соотношения, получим: Интеграл справа распространен по всему объему V, справа - по поверхности S, ограничивающей этот объем. Складывая эти соотношения, найдем: или: Эту формулу Остроградского - Гаусса можно также записать в виде: Смысл ее заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.В ходе данной работы рассмотрено и показано решения уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной форме при заданных источниках.
План
Содержание
Введение
1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме
2. Граничные условия
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики