Понятия предела функции, замыкания множества и компактности в метрическом пространстве. Теория фильтров при изучении сходимости в топологических пространствах. Рефлексивное и транзитивное отношение предпорядка. Симметричный и антисимметричный предпорядок.
Аннотация к работе
В метрическом пространстве понятия предела функции, замыкания множества и компактности могут быть описаны в терминах сходящихся последовательностей.Если множество, а порядок в , то пару называют упорядоченным множеством и пишут вместо . Допускают обычные вольности словоупотребления и написания: само называют упорядоченным множеством, пишут и говорят «меньше » или «больше » и т.п. Аналогичные соглашения действуют и для предупорядоченных множеств, т. е. множеств с отношениями предпорядка. Пусть упорядоченное множество и подмножество в Элемент называют верхней границей если . Элемент называют наибольшим в множестве , если и Аналогично определяют наименьший элемент .Множество B называют базисом фильтра (в ), если B фильтровано по убыванию при введении в множество подмножеств отношения порядка по включению. Подмножество F в называют фильтром (в ), если представляет собой совокупность надмножеств некоторого базиса фильтра B (в ), т.е. Максимальные элементы в упорядоченном множестве F всех фильтров в называют ультрафильтрами. Отображение называют метрикой на , если Пару называют метрическим пространством. Множество называют замкнутым цилиндром (порядка ), а множество открытым цилиндром (порядка ).