Характеристика сущности и свойств матрицы. Анализ специфики ортогональных и унитарных матриц. Изучение детерминант матриц и их свойств. Примеры нахождения определителей N-го порядка. Примеры решения задач на определение видов и детерминант матриц.
Аннотация к работе
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н.Ульянова» Унитарные и ортогональные матрицы и операторы студента группы МИ-11Впервые матрицы упоминались еще в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г. Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);Назовем матрицей размера (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида . называется элементом матрицы, находящимся на пересечении-той строки и-ого столбца; Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов полностью определяет матрицу. Таким образом, матрица размера состоит в точности из строк (по элементов в каждой) и столбцов (по элементов в каждом) или элементов. Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число называется размером квадратной матрицы или ее порядком. Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть ,тогда - матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где первый индекс означает индекс строки: ;Из определения следуют основные свойства ортогональной матрицы . Как мы увидим дальше, ортогональные матрицы задают такие преобразования пространства, которые не изменяют форму геометрических фигур. Доказательство следует из определения и правила умножения матриц. Записывая равенство QTQ = E подробно, например, для матриц 2-го порядка получим: откуда и следуют требуемые соотношения. Матрица Q ортогональна ? линейная замена переменных X = YQ преобразует сумму квадратов (т. е. квадратичную форму) снова в сумму квадратов .Определитель (детерминант) квадратной матрицы - это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам. Определителем матрицы порядка называется единственный элемент этой матрицы: . Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в "прямые" скобки: Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках или столбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово "матрица". По второму правилу (т.е. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка. Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению определителя (n-2)-го порядка и т.д., пока не получим определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу.При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1) . При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка: Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, - со знаком минус (согласно обозначениям на рис. Разложим определитель по 3-й строке: Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу: Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2): Определитель матрицы треугольного видачто соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-го и 2-го столбцов; что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-й и 2-й строк; матрица детерминанта ортогональный унитарный что соответствует свойству 6, так как матрица получена из матрицы умножением элементов 2-й строки на число ; что соответствует свойству 9, так как матрица получена из матрицы прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на . Обратная матрица к матрице находится по формуле: Найдем союзную матрицу , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы : Таким образом, Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером): Итак, Ответ.
План
Содержание
Глава 1. Ортогональные и унитарные матрицы
1.1 Матрица. Определение и свойства
1.2 Ортогональная матрица и ее свойства
Глава 2. Определители (детерминанты) матриц и их свойства. Вырожденные матрицы