Дифференциальное уравнение Бесселя и его интегралы. Рекуррентные формулы для данных функций. Применение теоремы Коши к интегралу Пуассона. Некоторые применения функций Бесселя. Задача на тепловое равновесие. Дифференциальное уравнение второго порядка.
Аннотация к работе
В монументальном трактате Ватсона (Ватсон, 1949), который является основным трудом по функциям Бесселя, история этих функций прослежена вплоть до И. У Эйлера (1764) и Пуассона (1823) функции Бесселя обычно связывались с дифференциальными уравнениями в частных производных, возникавшими в теории потенциала, волнового движения и диффузии в цилиндрических или сферических полярных координатах. Однако иногда функции Бесселя встречаются в связи с другими дифференциальными уравнениями или системами координат. Одним из первых приложений Бесселевых функций, наличие которого значительно содействовало появлению и развитию теории этих функций, был вопрос об эллиптическом движении планет. Из русских ученых много занимались Бесселевыми функциями академик Сонин, Динник и Адамов.Это уравнение называется уравнением Бесселя, а функции, удовлетворяющие ему, т. е. его интегралы, называются функциями Бесселя. Попробуем найти ряд, сумма которого удовлетворяла бы уравнению (1). Однако не всякая функция способна разлагаться в ряд Маклорена, например ни функция lg x, ни не разлагаются в ряд Маклорена - первая при х = 0 обращается в ?, а у второй f?(0) обращается в ?. Можно подозревать, что данному дифференциальному уравнению (1) удовлетворяет как раз такая функция, которая не разлагается в ряд Маклорена, так как при х = 0 либо она, либо ее производные обращаются в ?. В самом деле уравнение (1) имеет вид: Отсюда находим: В правой части знаменатель при х = 0 обращается в нуль.При n целом две функции и оказываются линейно зависимыми друг от друга и формулы (12) уже не дает общего интеграла уравнения Бесселя. В самом деле, если n целое положительное число, то в правой части формулы (11) § 1 коэффициенты при n первых слагаемых обращаются в нуль в силу равенств: Поэтому формула (11) § 1 принимает такой вид: Поэтому равенство (1) после упрощения становится таким: Сравнивая это с равенством (10) предыдущего параграфа, находим: (2) В частности, например, если взять то получится функция введенная Вебером (1873 г.). В данном случае переменная в равенстве (3) обозначена через n, поэтому при n целом получаем: Выполняя дифференцирования, находим: Так как sin = 0, a cos n = при целом n, то получаем для целых значений n: Величины и легко вычислить. , получаем: В первой сумме слагаемые можно преобразовать, исходя из формулы: При s=0,-1,-2,-3,… получим: Следовательно при имеем: Поэтому первая из сумм превратится в такую: Вторая сумма в формуле (7) может быть упрощена, если положить v = n k После этого она принимает вид: Подставляя результаты (5), (7), (8) и (9) в равенство (4), получим: При этом значок k в равенстве (9) переименован в v и слагаемые этой суммы объединены со слагаемыми суммы равенства (5).В некоторых приложениях математики, в частности в теории упругости, встречаются Бесселевы функции мнимого аргумента. Поэтому обычно рассматривают не саму функцию , а произведение ее . Разлагая в ряд, получаем: (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое тоже можно назвать Бесселевым и которое получается из прежнего заменой переменных. Другой интеграл этого уравнения может быть получен с помощью функции Вебера, но удобнее однако рассматривать иную функцию, обозначаемую через (х). Раскрывая неопределенность по способу, подобному прежнему, находим такое разложение для при целом (х) значении n: На основании сказанного значение функции состоит в следующем.Между тремя функциями Бесселя индексы которых отличаются на единицу, существует простая линейная зависимость. Ее легко получить исходя из разложения этих функций в ряды: Согласно формуле (10) § 1 имеем по замене n на n-1 и n 1 два равенства: Складывая почленно (1) и (2), находим: Таким образом получилась формула, дающая линейную зависимость между тремя функциями Бесселя , индексы которых отличаются на единицу: = (3) Если вычесть равенство (2) из равенства (1), то подобным же образом получится: Правая часть очевидно равняется величине 2 . Следовательно: (4)Величины Гамма-функций, имеющиеся в знаменателе, находятся по формулам, данным в § 1 первой главы: Подставляя это в равенство (1) после упрощений найдем: Подобным же образом доказывается равенство: Таким образом при n= Бесселевы функции выражаются через элементарные. Так как функции и выражаются через , то и тоже могут быть выражены через элементарные функции. Например при k целом положительном с помощью рекуррентных формул можно доказать справедливость равенства: Точно так же с помощью рекуррентных формул можно доказать справедливость равенства, дающего при целом k значение функции в развернутом виде: Здесь для краткости введены обозначения: При этом n=k и в обоих случаях суммирование продолжается до появления в числителе множителей, обращающихся в нуль.В дальнейшем мы увидим, что при вещественном значении n каждая функция Бесселя имеет бесчисленное множество вещественных корней. Помножая первое из этих уравнений на v, а второе на u и вычитая их друг от друга, находим: Это уравнение можно переписать и так: Интегрируя в пределах а и b это р
План
Оглавление
Введение
Глава I. Дифференциальное уравнение Бесселя и его интегралы
1.1 Дифференциальное уравнение Бесселя с дробным индексом
1.2 Дифференциальное уравнение Бесселя с целым индексом
1.2.1 Бесселевы функции третьего рода
1.3 Бесселевы функции мнимого аргумента
1.4 Рекуррентные формулы для бесселевых функций
1.5 Бесселевы функции, индекс которых равен целому числу с половиной
1.6 О корнях бесселевых функций
1.7 Интеграл Бесселя
1.8 Интеграл Пуассона
1.9 Применение теоремы Коши к интегралу Пуассона
1.10 Асимптотическое представление при больших значениях аргумента
1.11 Асимптотические формулы бесселевых функций
Глава II. Некоторые применения функций Бесселя
2.1 Бесселевы функции в астрономии
2.2 Приложение к теории продольного изгиба
2.3 Приложение к теории гармонических функций
2.4 Пример задачи на тепловое равновесие
2.5 Тепловое равновесие бесконечного цилиндра
2.6 Обобщение прежнего примера
2.7 Задача из электростатики
2.8 Разложение по бесселевым функциям
2.9 Дифференциальное уравнение второго порядка
Заключение
Список литературы
Введение
Актуальность исследования. Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще всего встречаются в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, а также в связи с некоторыми определенными интегралами. В монументальном трактате Ватсона (Ватсон, 1949), который является основным трудом по функциям Бесселя, история этих функций прослежена вплоть до И. Бернулли (около 1700 года). У Эйлера (1764) и Пуассона (1823) функции Бесселя обычно связывались с дифференциальными уравнениями в частных производных, возникавшими в теории потенциала, волнового движения и диффузии в цилиндрических или сферических полярных координатах. Однако иногда функции Бесселя встречаются в связи с другими дифференциальными уравнениями или системами координат.
Одним из первых приложений Бесселевых функций, наличие которого значительно содействовало появлению и развитию теории этих функций, был вопрос об эллиптическом движении планет. Ряды, полученные Бесселем, позволили изучать движение комет с такой же легкостью, как и планет.
Вильгельм Бессель (1784-1846) - один из величайших астрономов XIX ст. Будучи мелким служащим торговой фирмы в Бремене, решил поступить на судно. Изучая самоучкой астрономию, необходимую для мореплавания, он сделал в ней такие успехи, что с 20-летнего возраста начал печатать статьи в специальных астрономических журналах. Его работы (числом больше 400) охватили обширный круг вопросов астрономии и геодезии, как теоретических, так и практических. Ему принадлежит первое измерение размеров земного шара с почти современной точностью. Он первый измерил расстояние до одной из неподвижных звезд. Работа, в которой он изучал функции, названные его именем, написана им в 1824 г.
Современная теория Бесселевых функций-результат длинного ряда работ многих ученых, в том числе таких крупных, как Пуассон, Якоби, Куммер, Риманн, Ганкель и др. Из русских ученых много занимались Бесселевыми функциями академик Сонин, Динник и Адамов. Одно совсем неожиданное приложение Бесселевых функций к самым высоким областям теории чисел открыл замечательный русский математик Г. Ф. Вороной.
Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка
(1) где x - комплексное переменное, n - параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.
Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.
Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.
Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например: 1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
2) теплопроводность в цилиндрических объектах;
3) формы колебания тонкой круглой мембраны;
4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.
Объектом исследования является решение дифференциальных уравнений.
Предметом исследования являются цилиндрические функции Бесселя.
Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.
Задачи: 1) Изучить уравнение Бесселя и его интегралы: дифференциальное уравнение Бесселя с дробным индексом, дифференциальное уравнение Бесселя с целым индексом, бесселевы функции третьего рода, бесселевы функции мнимого аргумента, рекуррентные формулы для бесселевых функций, бесселевы функции, индекс которых равен целому числу с половиной, о корнях бесселевых функций, интеграл Бесселя, интеграл Пуассона, применение теоремы Коши к интегралу Пуассона, асимптотическое представление при больших значениях аргумента, асимптотические формулы бесселевых функций.
2) Рассмотреть некоторые применения функций Бесселя: бесселевы функции в астрономии, приложение к теории продольного изгиба, приложение к теории гармонических функций, пример задачи на тепловое равновесие, тепловое равновесие бесконечного цилиндра, задача из электростатики, разложение по бесселевым функциям.
3) Решить дифференциальное уравнение второго порядка с использованием функции Бесселя.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения и двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 70 страницах. Список литературы содержит 12 наименований.