Краткая история изучения циклоиды. Геометрическое определение, свойства и особенности построения циклоиды. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой.
Аннотация к работе
В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно. В виду того, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде.Великий античный философ - «отец логики» - Аристотель из Стагиры (384-322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс. рис. Когда кружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ и займет положение Мх. При этом, как мы знаем, отрезок ММХ будет равен длине «жирной» окружности. Когда точка М придет в положение М1 этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет в положение К1. 2 точки отрезка АВ приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка СЕ, но никому в голову не придет утверждать, что отрезки АВ и СЕ имеют одинаковую длину!Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС1 к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус г производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М.Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направление горизонтальным) и на ней точку М0. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (в направлении к точке М0) дугу ТМ, по длине равную отрезку М0Т. Геометрическое место точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой. 21), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней. Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h.Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=LNDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом: х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t, y= FM = NG = ND - GD = a - a cos tНайти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически и осью Ох. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно: Площадь криволинейного сектора. Если ? будет меняться, «пробегая» весь[?, ?], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную уравнением r = r(?). Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ? = ?, ? = ? и кривой AB, заданной в полярных координатах уравнением r = r(?), ? ? ? ? ?. Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t - sin t) , y= a (1 - cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике.
План
Оглавление
1. Введение
2. Исторические сведения
3. Основные свойства циклоиды
4. Построение циклоиды
5. Геометрическое определение циклоиды
6. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координата
7. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой
8. Заключение
Литература
Введение
Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В виду того, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде. Так же задачи связанные с циклоидой встречаются и в физике и в высшей математике. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.
Цель работы: описать основные свойства циклоиды, привести решение геометрических задач, связанных с циклоидой.
Вывод
Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, - тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.
Список литературы
1. Берман Г.Н. Циклоида. - М., 1980
2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. - 1975. - №5