Анализ сущности и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Характеристика основных методов решения элементарных тригонометрических уравнений, а также примеры решения нестандартных тригонометрических уравнений и неравенств.
Аннотация к работе
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом >. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования. В первом разделе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; таблица значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, что может > при решении тестов, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений.Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова: Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Уравнение решается применяя формулу а уравнение---по формулеСтандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть---угол, задаваемый равенствами , .Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая: решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага---замены переменных---превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений. Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.Если к нулевому члену прибавить или отнять разность прогрессии , то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов. Если последовательных членов бесконечной прогрессии например , , , ..., , сделать центральными членами прогрессий с одинаковой разностью, равной : то прогрессия (??) и ряд прогрессий (??) выражают собой одни и те же числа. Если бесконечных прогрессий с одинаковой разностью имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью , то эти рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью , и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если то эти прогрессий объединяются в одну: Пример , , , обе объединяются в одну группу , так как . Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.Пример Решить уравнение . Применим формулу (??), получим равносильное уравнение Пример Решить уравнение .При решении ряда уравнений применяются формулы. Решить уравнение Применив формулу (??), получим равносильное уравнение: Ответ.При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.Пример Решить уравнение . Применим формулу (??), получим уравнение Пример Решить уравнение .Пример Решить уравнение . Пример Решить уравнение . Преобразуем уравнение.
План
Содержание
Введение
1. Основные методы решения тригонометрических уравнений
1.1 Элементарные тригонометрические уравнения
1.2 Введение вспомогательного аргумента
1.3 Схема решения тригонометрических уравнений
1.4 Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений
1.6 Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии
1.7 Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
1.8 Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
1.9 Решение уравнений с применением формул понижения степени
1.10 Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента
1.11 Равенство одноименных тригонометрических функций
1.12 Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
1.13 Сводящиеся к квадратным
1.14 Уравнения, решаемые с помощью тождеств
1.15 Универсальная тригонометрическая подстановка
2. Нестандартные тригонометрические уравнения
2.1 Использование ограниченности функций
2.2 Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений
2.3 Метод симметрии
3. Тригонометрические неравенства
3.1 Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
3.2 Решение тригонометрических неравенств графическим методом