Теория вероятностей и математическая статистика - Курс лекций

Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан Ташкенсткий автомобильно-дорожный институт Кафедра Высшая математика Тексты лекций Теория вероятностей и математическая статистика М.У. Гафуров, Р.Х. Кенджаев, Ф.М. Закиров Ташкент 2007 М.У. Гафуров, Р.Х. Кенджаев, Ф.М. Закиров Теория вероятностей и математическая статистика. В основу текстов лекций положен семестровый курс теории вероятностей и математической статистики, читаемый авторами в течение ряда лет в Ташкенстком автомобильно-дорожном институте. Далее утверждения и формулы легко переводятся на общий случай. Приведенные теоретические материалы проиллюстрированы большим числом примеров прикладного содержания. вероятность выборка числовой корреляционный В сборнике лекций содержатся следующие разделы: пространство случайных событий, случайные величины и их числовые характеристики, предельные теоремы, элементы выборочного пространства, точечное и интервальное статистическое оценивание, элементы корреляционного и регрессионного анализа, а также проверка статистических гипотез. Операции над событиями. Условная вероятность 3. Формулы полной вероятности и Байеса 4. Последовательность независимых испытаний. Локальная и интегральная теоремы Лапласа 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства 7. Функции распределения и плотности непрерывных случайных величин, их свойства 8. Закон больших чисел и его практическое значение. Доверительный интервал. Доверительные интервалы для неизвестных параметров нормального распределения 14. Только в начале XVIII в. Я. Бернулли формулирует понятие вероятности. В развитие теории вероятностей огромный вклад внесли русские и советские математики, такие как П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, А. Прохоров и др. Особое место в развитии теории вероятностей принадлежит и узбекистанской школе, яркими представителями которой являются академики В.И. Романовский, С.Х. Сираждинов, Т.А. Сарымсаков, Т.А. Азларов, Ш.К. Фарманов, профессора И.С. Бадалбаев, М.У. Гафуров, Ш.А. Хашимов и др. На теорию вероятностей опирается математическая статистика, задача которой состоит в том, чтобы по выборке восстановить с определенной степенью достоверности характеристики, присущие генеральной совокупности. Каждое конкретное осуществление эксперимента называется испытанием. Всякий мыслимый результат эксперимента называется элементарным событием и обозначается через . Множество элементарных событий таких, что 1) в результате проведения эксперимента всегда происходит одно из элементарных событий ; 2) при одном испытании произойдет только одно элементарное событие называется пространством элементарных событий и обозначается через . Пространство элементарных событий, отвечающее данному эксперименту, имеет следующий вид: . Рассмотрим следующие события: А - появление белого шара; В - появление красного шара; С - появление синего шара; D - появление цветного (небелого) шара. Здесь мы видим, что каждое из этих событий обладает той или иной степенью возможности: одни - большей, другие - меньшей. (1.2) Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Если пространство элементарных событий рассматривать как некоторую область на плоскости или в пространстве, а А как ее подмножество, то вероятность события А будет рассматриваться как отношение площадей или объемов А и , и находиться по следующим формулам: , (1.4) . Если в результате эксперимента события А и В не могут наступить одновременно, то они называются несовместными событиями, в противном случае совместными. (3.2) Пример 1. События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому искомая вероятность равна . При подбрасывании двух монет число выпавших гербов Х есть случайная величина, которая может принимать значения 0, 1 и 2.