Тонкостенные оболочки как элементы конструкций. Фактор снижения материалоемкости конструкции. Оболочки как эффективное решение проблемы минимизации массы в строительных сооружениях. Основные геометрические параметры оболочки, относительная толщина.
Аннотация к работе
Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. Термин оболочка относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Список обозначений a1, a2 - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности So оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a1 - продольная, a2-окружная координаты; z - координата по нормали к S; А1, А2 -коэффициенты Лямэ; k1, k2 -главные кривизны; U, V, W - компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки; u, v, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности So; q 1, q2 - углы поворота нормали ; ejk - компоненты тензора деформаций; E11, E22, E12 - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a1 и a2 и сдвиг; K11, K22, K12 - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение; T11, T22, S - тангенциальные внутренние усилия, приведенные к So: усилия растяжения-сжатия и сдвига; M11, M22, H - изгибающие и крутящий моменты; Q11, Q22 - перерезывающие силы; q1, q2, q3 - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S; E, n - модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки; yj -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ); fj - операторы правых частей канонических систем ОДУ; Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем h - толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной. Рассмотрим производные r по переменным a1 и a2 r,1 = r1; r,2 = r2 Введем в рассмотрение базис r1 /?r1?= e1 r2 /?r2?= e2 и обозначим ?ra? = Aa на срединной поверхности S ( a3 =0). A1,2 k2 - (A1k1),2 = 0, (A1k1),2 = A1,2 k2 при замене индексов получаем два соотношения Кодацци (A2k2),1 = A2,1 k1 Вектор перемещений u = R - r = u1e1 u2e2 u3e3 R - текущая конфигурация r - отсчетная конфигурация u, i = (ukek), i = (uk), i ek uk (ek), i Дифференцирование ортов в специальной системе координат e1,1 = - e2 (H1,2/H2) - e3 (H1,3/H3) = - e2 1/ (A2 (1 a3k2)) ? [A1 (1 a3k1)],2 - e3 ? [A1 (1 a3k1)],3 = - e2 1/ (A2 (1 a3k2)) [A1,2 a3 (A1k1),2] - e3 A1k1 = = - e2 (A1,2 (1 a3k2)) / (A2 (1 a3k2)) - e3 A1k1 = = - e2 (A1,2/A2) - e3 A1k1; e1,2 = e2 (H2,1/H1) = e2 1/ (A1 (1 a3k1)) [A2,1 a3 (A2k2),1] = = e2 (A2,1 (1 a3k1)) / (A1 (1 a3k1)) = e2 (A2,1/A1); e1,3 = e3 (H3,1/H1) = 0 (т.к H3 = 1) e2,1 = e1 (A1,2/A2) - получаем из e1,2 заменой (1«2) e2,3 = e3 (H3,2/H2) = 0 e3,2 = e2 (H2,3/H3) = e2 A2k2 e3,1 = e1 (H1,3/H3) = e1 A1k1 e3,3 = 0 (H3 = 1) Удлинения, сдвиги и повороты элемента сплошной среды а) Рассмотрим удлинения dr - в отсчетной конфигурации, dR - в текущей конфигурации dR = dr ? ; R ( = ek (…),k / Hk) R = r u (r u) = r u = u Рассмотрим относительное удлинение (?dR?-?dr?) /?dr? = e; ?dR? = dS; ?dr? = ds; dS2 - ds2 = dR ? dR - dr ? dr = dr ? ? dr ? - dr ? dr = = dr ? ? ? dr - dr ? ? dr = dr ( ? -? ) ? dr = = 2dr ? ? dr; = 0,5 ( ? - ) - тензор деформаций Грина = 0,5 [ ( u) ( uT) - ] = 0,5 ( u uT u? uT) dr = e ds ® e = dr /?dr? - единичный вектор dS2 - ds2 = 2ds2 e?eG ? e (dS2 - ds2) /ds2= (dS/ds) 2 - 1 = 2e?eG?e dS/ds = (1 2e?eG?e) 1/2; ee = (dS - ds) /ds = (1 2e?eG?e) 1/2 - 1 - удлинение Пусть e = e1; = (1 2 ) 1/2 - 1 = 1 … - 1 = » e11 e = 0,5 (Nu NuT) - линейный тензор деформаций Коши.