Аксиомы теории Цернело-Френкеля по устранению. Аксиома выбора как один из важнейших теоретико-множественных принципов, альтернативные формулировки аксиомы и её применение. Принцип вполне упорядочивания и лемма Цорна для частично упорядоченных множеств.
Аннотация к работе
История и оценкиНовая аксиома вызвала бурную полемику и до сих пор принимается в качестве аксиомы не всеми математиками безоговорочно: некоторые математики относятся с недоверием к ее недоказуемости. В связи с сомнительным характером недоказуемости этой аксиомы также бытует мнение, что доказательства, полученные с ее привлечением, имеют «иную познавательную ценность», чем доказательства, независимые от нее. Появление аксиомы выбора в свое время даже вызвало дискуссию о том, что означает в математике понятие «существование» - в частности, о том, можно ли считать существующим множество, ни один элемент которого не известен. Неприятие аксиомы выбора некоторыми математиками в качестве аксиомы основано, прежде всего, тем, что в ней лишь утверждается существование множества d, но не дается никакого способа его определения: хотя этот способ интуитивно ясен для конечных множеств (достаточно выбрать по одному элементу от каждого из непересекающихся множеств, чтобы сформировать множество d), нет никакой гарантии, что эта аксиома окажется справедливой в общем случае (в частности, в случае бесконечных множеств). Конечно, можно дать способ построения множества d для любых множеств (в том числе и для бесконечных), но в чем тогда «аксиоматичность» аксиомы выбора?Функция выбора - функция на множестве множеств X такая, что для каждого множества s в X, f(s) является элементом из s. С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает: Для любого семейства непустых множеств X существует функция выбора f, определенная на X. Отсюда немедленно следует компактная формулировка отрицания аксиомы выбора: Существует множество непустых множеств, которое не имеет никакой функции выбора. Вторая версия аксиомы выбора утверждает: Для данного произвольного множества попарно непересекающихся непустых множеств существует по крайней мере одно множество, которое содержит точно один элемент, общий с каждым из непустых множеств.Для конечного набора X аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. Ясно, что мы можем сделать это: мы начнем с первой коробки, выберем вещь; отправимся ко второй коробке, выберем вещь; и т. д. Результатом будет функция явного выбора: функция, которая первой коробке сопоставляет первый элемент, который мы выбрали, второй коробке - второй элемент и т. д. Каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент, таким образом, определяя нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что каждому множеству сопоставляется наименьший элемент набора. Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как X бесконечно, наша процедура выбора никогда не придет к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего X.