Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову. Их геометрическая интерпретация. Устойчивость решения автономной системы и линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Простейшие типы точек покоя.
Аннотация к работе
1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х (t ) можно интерпритировать следующим образом: все решения x (t ; t0 , x0 D x0 ) , близкие в начальный момент t0 к решению x (t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t ? t0 2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x1 (t ) , начинающееся в момент t0 в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x (t ) . Решение x (t ) = x (t ; t0 , x0 ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х (t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 (свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки. Решению x (t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) ? 0 системы (4).