Зчислені множини та їх властивості. Застосування теореми Кантора-Бернштейна. Міра Лебега обмежених множин. Поняття півкільця, кільця, алгебри. Узагальнення поняття вимірності в R1. Властивості вимірних функцій, пов’язані з алгебраїчними операціями.
Аннотация к работе
ГЛАВА I. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МНОЖИН
1.1 Поняття множини, операції над множинами
Означення 1.1.1. Множиною називається сукупність, набір, сімя, збори, колекція предметів, вибраних по деякому правилу (закону), або просто указаних; при цьому усі предмети різні. Предмети, із яких складається множина називаються елементами.
Множини будемо позначати прописними латинськими буквами, а елементи - малими літерами. Якщо елемент належить множині A, то це будимо записувати так: , а якщо елемент не належить множині A, то будимо записувати .
Приклади.
1. множина усіх натуральних чисел, множина всіх цілих чисел, множина всіх дійсних чисел, множина всіх раціональних чисел.
2. Сегмент множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , інтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову .
3. множина усіх функцій заданих і неперервних на сегменті , множина всіх функцій заданих і обмежених на сегменті .
Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, то будемо казати, що множина А міститься в множині В, або множина В містить множину А і позначати це будемо так: AIB, або BEA. Будемо також казати, що множина А є підмножиною множини В. Наприклад, , .
Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і навпаки кожен елемент множини В є елементом множини А, то множини рівні: А = В. Отже, щоб довести, що множини А і В рівні треба показати, що А I В і В I А.
Означення 1.1.2. Нехай задана деяка сімя множин: . Множина всіх елементів, що належать хоч би однієї із множин даної сімї, називається обєднанням множин і позначається обєднання так .
Якщо маємо дві множини А і В, то їх обєднання позначимо через . Якщо множин n штук: , то позначення їх обєднання буде , або .
Означення 1.1.3. Перетином множин сімя називається множина всіх спільних елементів множин даної сімї.
Позначення перетину: перетин сімї множин - , перетин двох множин - , перетин n множин - , або . Якщо множини не мають спільних елементів, то будемо казати, що їх перетин - порожня множина. Порожню множину будемо позначати символом ?. Порожня множина може бути не тільки результатом перетину. Наприклад: множина дійсних розвязків рівняння - порожня множина.
Означення 1.1.4. Різницею множини А і В називається множина усіх елементів множини А, що не належать множині В. Різниця множин А і В позначається таким чином: А \ В.
Означення 1.1.5. Симетричною різницею множини А і В називається множина . Симетрична різниця позначається так: .
Означення 1.1.6. Якщо множина В є підмножиною множини А, то різниця множин А і В називається доповненням множини В до множини А. Доповнення множини В до множини А позначається символом .
Теорема 1.1.1 (Співвідношення двоїстості). Нехай кожна із множини міститься в множині А. Тоді мають місце рівності:
Доведення. Нехай тобто і , отже для кожного і . Навпаки, нехай , тоді і для кожного . Отже і . Друга рівність доводиться аналогічно.
Задачі.
1. Довести, що .
2. Довести, що .
3. Довести, що .
4. Довести, що .
5. Довести, що тоді і тільки тоді, коли .
6. Довести, що , де .
7. Довести, що , де .
8. Довести, що (
9. Довести, що .
10. Довести, що , якщо і множини не перетинаються.
11. Довести, що .
12. Довести, що .
13. Верхня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать нескінченної системи множин .
14. Нижня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать усім множинам за виключенням скінченної кількості.
1.2 Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
Означення 1.2.1. Правило або закон, по якому кожному елементу а множини А ставиться у відповідність один елемент b множини В, називається функцією обо відображенням множини А в В.
Функція звичайно позначається літерою латинського або грецького алфавіту, наприклад, і писати : , або , при цьому елемент називається образом елементу , а елемент прообразом елемент . Множина називається образом множини і позначається символом . Якщо при перетворенні кожен елемент є образом деякого елементу то кажуть, що перетворює А на В і це позначають так , або . Множина називається прообразом множини і позначається символом .
Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».
Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення множини А на множину В, яке різним елементам множини А ставить у відповідність різні елементи множини В.
В цьому випадку прообраз кожної одно елементної множини є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною відповідністю. Відображення і називаються взаємно оберненими.
Задачі.
1. Нехай , і . Чи мають місце наступні співвідношення: , , Чи має місце включення ?