Описание построения и расчет формул основных математических кривых: декартов лист, лемниската Бернулли, логарифмическая спираль, спираль Архимеда, циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, дельтоида, астроида, овал Кассини, строфоида, трактриса, кардиоида.
Аннотация к работе
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Набережночелнинский институт социально-педагогических технологий и ресурсов факультет математики и информатики Математика с дополнительной специальностью информатикаСами по себе кривые очень разнообразны и имеют богатую историю. В свое время кривые изучал Декарт, Архимед, Аристотель. Если уже созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений, поэтому и учение о конических сечениях можно считать вполне естественным. Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Коническим сечениям был посвящен ряд сочинений, но все эти сочинения были забыты, когда появился труд Аполлония о конических сечениях.При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли OBAC (рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI, OL). Далее проведем прямые AA и OE, перпендикулярные AO, и отметим точки Через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим NQ AA. Проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q. Прямая M1M2, проведенная через P параллельно AA, пересечет прямую ON в точке M1.Лемниската (от лат. lemniscatus - украшенный лентами) - плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов ) постоянно. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату: · в прямоугольных координатах : · Параметрическое уравнение в прямоугольной системе: , гдеНа каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали. Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота. Тогда поворот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л 1,57, поворот на величину развернутого угла - числом л 3,14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6,28.За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей. Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла.Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM"M""N", если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д.Уравнения: Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, ее радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно : где ? - угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, - параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.