Умови стійкості, асимптотичної та експоненційної стійкості з імовірністю 1 нульового положення напівмарковських процесів ризику. Доведення e-оптимальності керування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації.
Аннотация к работе
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукСвіщук Анатолій Віталійович, Університет Калгарі, Алберта, Канада, професор факультету математики і статистики Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Королюк Володимир Семенович, Інститут математики НАН України, радник при дирекції доктор фізико-математичних наук, професор Захист відбудеться „17 ”травня 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м.Ми розглядаємо таку стохастичну модель процесу ризику, в якій джерелом ризику є весь страховий портфель деякої страхової компанії і сумарний її капітал за час t описується процесом z(t), що є імпульсним процесом переносу в напівмарковському випадковому середовищі, а тому має інтерпретацію напівмарковської випадкової еволюції. Наприклад,у теоріях запасів, переносу, стохастичних диференціальних рівнянь.У роботі теорія напівмарковських випадкових еволюцій застосовується до дослідження напівмарковських процесів ризику. Стійкість еволюційних стохастичних систем і випадкових еволюцій досліджувалась у роботах Арнольда Л., Бланкеншіпа Дж., Гіхмана І., Дороговцева А., Королюка В., Кушнера Г., Папаніколау Г., Пінського М., Свіщука А., Скорохода А., Хасьмінського Р. Обєктом дослідження роботи є модель імпульсного процесу переносу в напівмарковському випадковому середовищі, що має інтерпретацію напівмарковської випадкової еволюції і застосовується для вивчення процесу ризику. Предметом дослідження є стохастична стійкість та оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику, а саме: стійкість, асимптотична, експоненційна стійкість нульового положення напівмарковського процесу ризику з імовірністю 1, стійкість нульового положення напівмарковських процесів ризику в схемах усереднення та дифузійної апроксимації, оптимальне стохастичне керування напівмарковськими процесами ризику в схемах усереднення, дифузійної апроксимації.У першому розділі дається огляд літератури за темою дисертації та необхідні відомості з теорії напівмарковських випадкових еволюцій та теорії ризику. Напівмарковським процесом називається процес x(t), що задається співвідношеннями: де ?n - моменти відновлення, - невідємні випадкові величини, що задають інтервали між моментами відновлення. У момент відновлення ?n, n>1, напівмарковський процес змінює свій стан, перебуваючи в кожному стані xn = x час. Двокомпонентний ланцюг Маркова (xn, ?n, n>0) називають процесом марковського відновлення, що породжує напівмарковський процес. Розглядатимемо регулярні напівмарковські процеси: У другому розділі вивчається напівмарковський процес ризику, що є одним із узагальнень класичної моделі ризику Крамера-Лундберга, означення якого приведене у підрозділі 2.1.У підрозділі 3.1 наводяться означення стохастичної стійкості нульового положення напівмарковських процесів ризику; доведено лему, результат якої використовується надалі в доведеннях теорем; доводяться теореми про стійкість, розглядаються приклади їх застосування. Нехай де функції (z, x), визначені в означенні 2.1. Нехай виконуються умови: А1) функція є невідємною та неперервною на відкритій множині для деякого фіксованого; Тоді нульове положення напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є експоненційно стійким з імовірністю 1 і для, Якщо умови теореми виконуються для довільних, тоді Нульовий стан напівмарковського процесу ризику z(t), визначеного в (6), є асимптотично стійким з імовірністю 1, якщо він є стійким з імовірністю 1 та З теорем 3.1 та 3.2 випливає: Наслідок.Функцію назвемо допустимою, якщо функція в рівнянні (12) неперервна, неперервно диференційовна по z; обмежена по x; невідємна і така, що, та. Розглядається варіант задачі оптимального стохастичного керування, що полягає у виборі такого керування, де U - компактна множина допустимих керувань у просторі дійсних неперервних функцій на, що задовольняють локальній умові Ліпшица по z, яке переводить процес, де z(t) визначений в (12), з початкового стану у множину з імовірністю 1, де, , , і щоб при цьому мінімізувався в порівнянні з іншими керуваннями із раніше визначеної множини допустимих керувань U функціонал якості де - випадковий момент попадання в множину; Розглядається задача оптимального стохастичного керування, що полягає у виборі такого керування, яке переводить процес (z(t),x(t), (t)) з початкового стану (z,x,T) у множину з імовірністю 1, де U - компактна множина допустимих керувань у просторі дійсних неперервних функцій на, що задовольняють локальній умові Ліпшица по z, G0=(0, z 0), , , z(t) - керований напівмарковський процес ризику, визначений в (12), і при цьому вимагається, щоб процес зупинився в момент, коли він вийде з множини G0=(0, z 0).