Аналіз властивостей статистичної оцінки ентропії, побудованої за допомогою узагальненого методу спейсингів. Побудова критеріїв перевірки гіпотез про розподіли випадкових величин та критерію перевірки гіпотези про незалежність випадкових величин.
Аннотация к работе
АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наукДоктор фізико - математичних наук, професор ЛЕОНЕНКО Микола Миколайович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики механіко-математичного факультету. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Дисертаційна робота є науковим дослідженням властивостей статистичної оцінки ентропії, побудованої за допомогою узагальненого методу спейсингів, яка використовується для побудови критеріїв перевірки гіпотез про розподіли випадкових величин та критерію перевірки гіпотези про незалежність випадкових величин. В роботі розвязано низку цікавих задач по дослідженню властивостей побудованих статистичних оцінок, знайдено умови на функцію щільності випадкової величини, при яких ці оцінки будуть асимптотично незміщеними та конзистентними, - конзистентними, а також умови, при яких порядок відхилення цих оцінок від точного значення ентропії випадкового розподілу при великих N веде себе як О(1/N). Крім того, сформульовано і доведено принцип максимальної ентропії для деяких ймовірносних розподілів і запропоновано використовувати ці оцінки для побудови критерію перевірки гіпотези про незалежність випадкових величин.При такому підході, як правило, умови, що накладаються на функцію розподілу, для того, щоб отримані оцінки були конзистентними виявляються дуже обмежуючими, що значно ускладнює можливість побудови критеріїв згоди, основаних на властивостях ентропії випадкової величини. Оцінки ж, основані на так званому "методі спейсингів" виявляються значно простішими для дослідження, завдяки чому виявляється можливим їх використання як при перевірці гіпотез про розподіл випадкових величин, так і в інших галузях науки. Крім того, нещодавно для таких оцінок була сформульована ЦГТ, що дає змогу будувати критерії перевірки гіпотез про розподіли в.в., основані на таких оцінках. Головною метою дисертаційної роботи було побудувати узагальнення оцінок ентропії випадкової величини, вивчити умови, накладені на функцію розподілу випадкової величини, при яких ці оцінки будуть конзистентними, та дослідити питання про можливість застосування принципу максимальної ентропії та властивостей побудованих оцінок для характеризації деяких ймовірносних розподілів випадкових величин. Крім того, вдалося сформулювати умови, що потрібно накласти на функцію розподілу, для того, щоб оцінки з цього класу були асимптотично незсуненими та конзистентними, що сформульовано у вигляді двох теорем в основній частині, а також вперше сформулювати умови, при яких такі оцінки будуть корінь з N конзистентними та вперше оцінити у термінах О великого швидкість збіжності цих оцінок до дійсного значення ентропії багатовимірного ймовірносного розподілу.У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової задачі оцінювання ентропії ймовірносного розподілу випадкової величини та дослідження властивостей побудованих оцінок, що виявляється можливим завдяки використанню деяких ідей методу спейсингів. Зокрема, викладено результати Козаченко Л. Ф. та Леоненка М. М. по дослідженню властивостей оцінок, побудованих за допомогою багатовимірного аналогу методу спейсингів, а також результати Цибакова А. Б. та Ван дер Мюлена по дослідженню властивостей модифікованих оцінок Козаченко-Леоненка. У другому розділі дисертації представлено ідею побудови багатовимірного аналогу спейсингів к-того порядку і за допомогою цього аналогу побудовано новий клас оцінок ентропії ймовірносного розподілу випадкової величини, причому, оцінки Козаченко-Леоненка, належать до цього класу. Нехай ці спостереження: і для фіксованого спостереження та фіксованого визначимо випадкові величини слідуючим чином: Тоді, на основі так отриманої випадкової величини будується оцінка невідомої ентропії ймовірносного розподілу: де - дігамма функція, а.Для так побудованої оцінки у дисертації доведені властивості асимптотичної незсуненості та конзистентності, що сформульовано у вигляді наступних двох теореми: Теорема 2.2.1. В роботі показано, що для випадкової величини з функцією розподілу існує випадкова величина, яка не залежить від N, і функція розподілу якої при N, що прямує до нескінченності, являється граничною для функції розподілу.І справді, компоненти випадкового вектора незалежні тоді і тільки тоді, коли ентропія обєднаної схеми дорівнює сумі маргинальних ентропій для кожної компоненти окремо. Нехай - двовимірний вектор з двовимірною щільністю і нехай та умовна щільність означають відповідно маргинальні та умовну щільності.У дисертації розвязується задача узагальнення оцінок, побудованих на основі узагальнення методу к-спейсингів на багатовимірний випадок та дослідження властивостей побудованих оцінок.