Общий вид и методы решения задач линейного программирования. Практическое применение симплекс-метода в решении задачи линейного программирования, его особенности и программная реализация. Понятие "двойственных задач линейного программирования".
Аннотация к работе
В настоящее время множество задач планирования и управления в отраслях народного хозяйства, а также большой объем частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкого круга задач коммерческой деятельности, таких, как планирование товарооборота; размещение розничной торговой сети города; планирование товароснабжения города, района; прикрепление торговых предприятий к поставщикам; организация рациональных перевозок товаров; распределение работников торговли должностям; организация рациональных закупок продуктов питания; распределение ресурсов; планирование капиталовложений; оптимизация межотраслевых связей; замена торгового оборудования; определение оптимального ассортимента товаров в условиях ограниченной площади; установление рационального режима работы. Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования. Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие течение операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования. Использование методов математического программирования в коммерческой деятельности связано со сбором необходимой информации коммерсантом, экономистом, финансистом, затем постановкой задачи вместе с математикой.Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) ставится следующим образом: Имеется ряд переменных . Требуется найти такие их неотрицательные значения, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений: (1) и, кроме того, обращали бы в минимум линейную целевую функцию (ЦФ) Очевидно, случай, когда ЦФ нужно обратить не в минимум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо нее функцию Допустимым решением ОЗЛП называют любую совокупность переменных , удовлетворяющую уравнениям (1). Оптимальным решением называют то из допустимых решений, при котором ЦФ обращается в минимум.В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической.В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных.ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне. При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.Двойственность в линейном программировании - принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу . Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу линейного программирования, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой.Дана исходная задача Составим математическую модель двойственной задачи, для этого: - каждому неравенству системы ограничений исходной задачи приводим в соответствие переменную yi; составляем целевую функцию, коэффициентами которой являются свободные члены системы ограничений исходной задачи; Коэффициенты системы ограничений образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений исходной задачи.Задача дана в каноническом виде. Составим математическую модель двойственной задачи. Для ее составления пользуемся тем же правилом, что и для составления симметричной задачи, с учетом следующих особенностей: - ограничениями двойственной задачи будут неравенства.Математическая модель исходной задачи имеет условия симметричных и несимметричных задач. При составлении двойственной задачи необходимо выполнять правила симметричных и несимметричных задач. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений X и Y выполняется равенствоРацион для питания животных на ферме состоит из трех видов кормов.
План
Содержание
Введение
1. Теоретические основы задач линейного программирования
1.1 Общий вид задач линейного программирования
1.2 Каноническая форма задачи линейного программирования
1.3 Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
1.4 Методы решения задач линейного программирования
1.5 Двойственная задача линейного программирования