Деление отрезка прямой в заданном отношении по средствам построения. Геометрическое определение "золотого сечения". Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении. Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач.
Аннотация к работе
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу «Элементарная математика» Тема: Задача о деление отрезков в заданном отношении и порождаемые ею теорииДанная работа посвящена задаче о делении отрезка в заданном отношении и порождаемым ею теориям. Многие ученые (от древнего мира до наших дней) рассматривали данную задачу и использовали ее в своих трудах, и в моей работе будут рассмотрены данные теории, таких великих умов как Джованни Чева, Менелая Александрийского и Евклида. А так же рассмотрим решение задачи о делении отрезка в заданном отношении способом построения, и разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении, получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка.На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3:2. Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: отрезок АО делим на две равные части (точка С); в точке О строим перпендикуляр к отрезку АО, на перпендикуляре откладываем отрезок ОМ который равен отрезку ОС; точки А и М соединяют прямой. Далее на этой прямой от точки М откладывают отрезок MN = ОМ и на отрезке АО от точки А откладывают отрезок АК из точки N.Нам требуется найти координаты XC и YC точки С, которая делит отрезок АВ в отношении l, где l - некоторое положительное действительное число. Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно l (то есть, выполняется равенство = l). Обратим внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В - его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении l , то будет выполняться равенство = l. Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и .2.1 Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения Применим полученные в теоретической части, в пунктах 1.3, 1.4, формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если A(11,1,0), B(-9,2,-4). Применим формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении l = , по известным координатам концов отрезка: Ответ: С(-, ,-) геометрический отрезок менелай чева Точка С(2,-5) делит отрезок АВ в отношении .В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СМ3 пересекаются в одной точке. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR - точка L, причем NQ = LR.В данной курсовой работе были рассмотрены теоретические и практические аспекты задачи о деление отрезка в заданном отношении. Если говорить о значении данной задачи, то можно с уверенностью сказать что ее значимость в геометрии весьма велика. Задача о делении отрезка в заданном отношении нашла свое применение в теории геометрии, послужила основой для создания многих других теорем, а так же применяется при решении различных задач, в том числе и в задачах на построение. В данной работе рассмотрены не только способы деления отрезок прямой в заданном отношении по средствам построения, а так же изучены вопросы о том найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости и в пространстве. А так же рассмотрены задачи, в которых применяются теоретические знания, полученные в ходе изучения задачи о делении отрезка в заданном отношении и порожденных ей теорий.
План
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Деление отрезка
1.1 Задачи на построение
1.2 Геометрическое определение "золотого сечения"
1.3 Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости
1.4 Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве
1.5 Теории порождаемые задачей о делении отрезка в данном отношении (Теорема Чевы, Теорема Менелая)
2. Нахождение координат точки
2.1 Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении
2.2 Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач