Спектри періодичних задач з узагальненими функціями - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Робота виконана в Інституті математики НАН України. Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Михайлець Володимир Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник.В дисертаційній роботі вивчаються спектральні задачі на класах 1-періодичних узагальнених функцій: в гільбертовому просторі досліджуються спектри операторів , які породжуються на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами, ? В роботі отримано рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій неасимптотичні (ефективні) та асимптотичні оцінки власних значень операторів ; проведено дослідження неперервного спектру одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шредінгера - встановлено кількісну відповідність між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун. Класичною роботою в теорії одновимірних операторів Шредінгера зсингулярним потенціалом (потенціал є узагальненою функцією), що описують точкову взаємодію: потенціал є сумою-функцій Дірака, - є робота Кроніга і Пенні 1931 року; Ф. Kappelera, C.Mohra сингулярно збурені самоспряжені обмежені знизу оператори вивчаються в негативних гільбертових просторах, що дозволяє розглядати їх як звичайні й спрощує дослідження спектральних властивостей; хоча при цьому не виконується природне бажання працювати з операторами, визначеними в "нульовому" гільбертовому просторі. Ними детально вивчалися визначені в негативних періодичних просторах Соболєва порядку-1 оператори, породжені на скінченному інтервалі несамоспряженими диференціальними виразами другого порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією: отримані рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій асимптотичні оцінки власних значень.Зауважимо, що в означенні просторів Соболєва 1-пріодичних та 1-півперіодичних елементів ми використали подвійне позначення: тільки при парних k - 1-періодичний елемент простору а тільки при непарних k - це 1-півперіодичний елемент простору Причому при s?0 елементами просторів є звичайні функції (при s>1/2 це вже неперервні функції), а при s<0 елементами просторів є розподіли (узагальнені функції), і Оператор перетворення Фурє встановлює ізометричний ізоморфізм між просторами Соболєва та ваговими просторами двосторонніх послідовностей: Через () будемо позначати вагові простори двосторонніх послідовностей: причому Якщо n=0, то ми просто будемо писати замість . · Для довільного оператор неперервно відображає простір в простір : . Наступна теорема дозволяє дати інше природне визначення операторів : оператори можна розглядати як границю послідовності операторів з гладкими потенціалами в сенсі рівномірної резольвентної збіжності. Тоді оператори збігаються до оператора в сенсі рівномірної резольвентної збіжності, Остання теорема також може бути використана при наближених обчисленнях власних значень оператора : спектри операторів збігаються до спектру оператора (збіжність є неперервною зверху); причому у випадку дійснозначності розподілів та ця збіжність є неперервною. Нехай розподіл належить простору і Спектри операторів та складаються з нескінченної послідовності ізольованих власних значень скінченної алгебраїчної кратності, що не мають граничної точки, крім при парному значенні k власне значення належить спектру оператора , а при непарному значенні k - спектру оператора .В дисертаційній роботі досліджуються спектральні задачі на класах 1-періодичних узагальнених функцій. Дано визначення операторів , породжених на скінченному інтервалі несамоспряженими диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами; проведено дослідження їх загальних властивостей.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ