Особенность векторного произведения коллинеарных векторов. Характеристика создания градиентов в координатах. Анализ результата раскрытия определителя. Геометрические и алгебраические свойства смешанного творения. Суть циклической перестановки множителей.
Аннотация к работе
Южно-Казахстанская государственная фармацевтическая академия Кафедра: медицинской биофизики информатики и математикиСмешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается . Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства: 1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане.В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора. Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ: Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО: Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР: , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор.Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам направлен так, что базис имеет правую ориентацию: Итак, можно выделить следующие существенные моменты: 1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны. 2) Векторы взяты в строго определенном порядке: - «а» умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах .Пример 1 а) Найти длину векторного произведения векторов , если б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если Решение: а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле: Ответ: б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если Для решения других задач нам понадобятся: В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример: Пример 3 Решение для ясности разобьем на три этапа: 1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор. В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь: 2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения.Смешанное произведение векторов - это произведение трех векторов: Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов ,взятых в данном порядке, называется объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабженный знаком « », если базис правый, и знаком «-», если базис левый. 2) Векторы взяты в определенном порядке, то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий. По определению смешанное произведение - это объем параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями черного цвета).В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объем такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: ., заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой: Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса - это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. Таким образом, при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак. Решение: а) По формуле смешанного произведения: (Определитель раскрыт по первому столбцу) б) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения данных векторов: в) Вычислим объем тетраэдра, построенного на данных векторах: Ответ: В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объему добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет все-таки не очень.Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны: векторы компланарны. Найдем по определению смешанное произведение: , где - угол между векторами и . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный: При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется: 2. Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.
План
План
1. Смешанное произведение векторов и его свойства
2. Векторное произведение векторов
3. Определение векторного произведения
4. Векторное произведение коллинеарных векторов
5. Смешанное произведение векторов
6. Смешанное произведение компланарных векторов
7. Геометрические свойства смешанного произведения
8. Алгебраические свойства смешанного произведения