Изучение единственного решения для смешанных краевых задач с заданными начальными условиями. Ознакомление с обозначениями сеточной функции по переменной. Анализ геометрического места узлов функции в разностном уравнении с фиксированными алгоритмами.
Аннотация к работе
Вычислительный алгоритм.Обозначения ПУСТЬВ области задано уравнение теплопроводности: (12.1) - неизвестная функция, которую требуется найти. При ф. удовлетворяет начальному условию: (12.2) При ф. удовлетворяет граничным условиям: (12.3) Пусть функции обладают необходимой гладкостью и (12.1)-(12.3) - смешанная краевая задача , поскольку в ней заданы краевые и начальные условия. Обозначим через: Через обозначим сеточную функцию.Разностная схема Введем в рассмотрение разностный оператор: Зададим на сетке тождественный оператор и сеточную функцию Тогда разностная схема будет иметь вид: (12.4) на . на . Можно показать, что погрешность аппроксимации разностной схемы - невязка решения задачи (12.1)-(12.3) для разностного уравнения (12.4). Т.е. разностное уравнение (12.7) аппроксимирует дифференциальное уравнение на решении (12.1)-(12.3) со вторым порядком по и с первым порядком по . Можно показать, что разностная схема (12.4) будет устойчива при дополнительном условии: (12.5) Из аппроксимации и устойчивости по основной теореме разностных схем будет следовать, что приближенное решение разностной задачи (12.4) сходится к точному решению задачи (12.1)-(12.3) со вторым порядком по и с первым по , т.е.Определение 12.2 : Если разностная схема устойчива без каких-либо ограничений на соотношение шагов сетки, то такая разностная схема называется абсолютно устойчивой .