Случайные процессы и их вероятностные характеристики. Расчет систем автоматического управления при случайных воздействиях. Вводные замечания и корреляционная функция. Спектральная плотность случайных процессов. Свойства стационарного случайного процесса.
Аннотация к работе
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский институт электронной техники» Факультет Интеллектуальные технические системы Кафедра Системы автоматического управления и контроляВ теории принято считать, что все внешние воздействия (управляющие и возмущающие), приложенные к системе, являются определенными известными функциями времени. В этих случаях состояние системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями , в любой момент времени однозначно определяется состоянием системы в предшествующий момент времени . Такими случайными воздействиями являются, например, суточные изменения нагрузок энергосистемы; порывы ветра, действующие на самолет; удары волн в гидродинамических системах; сигналы радиолокационных установок, отраженные от цели; флуктуационные шумы в радиотехнических устройствах и т. д. Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне (внешние воздействия) или, возникать внутри некоторых ее элементов (внутренние шумы). Случайные изменения свойств системы обычно можно свести к эквивалентному влиянию некоторых случайных помех, воздействующих на нее, поэтому в дальнейшем будем считать, что на систему действуют только внешние случайные воздействия.Случайное событие - это такое событие, которое может произойти или не произойти, причем это можно выяснить только в результате опыта. Если в большой серии из опытов событие случилось раз, можно говорить о том, что вероятность появлении события примерно равна Случайная величина полностью определяется законом распределения. Плотность распределения случайной величины ( - одно из допустимых значений случайной величины): Характеристики случайной величины: Среднее значение или математическое ожидание случайной величины Равномерное распределение случайной величины на интервале описывается плотностью распределения: Рис.1 - График равномерного распределения случайной величиныСлучайная величина , изменяющаяся во времени , называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая , а является множеством возможных кривых , так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений. Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной. Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия или среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой. Кроме этих осредненных характеристик , которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайной величины для отдельной реализации случайного процесса , которое определяется из выраженияСтационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Иначе процесс - нестационарный, его свойства со временем изменяются. Вместо этого достаточно рассматривать процессы, стационарные в широком смысле, для которых математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение постоянны вдоль всего случайного процесса. Задание всех функций плотности распределения определяет случайный процесс, однако, для удобства целесообразно использовать некоторые осредененные характеристики. Поскольку вероятностные характеристики для стационарных процессов с течением времени постоянны, то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).В случае независимости случайных величин и можно легко показать, что корреляционный момент . Иногда употребляется понятие коэффициента корреляции, представляющего собой относительное значение корреляционного момента: . где и - дисперсии величин и . Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции и , взятых в моменты времени и носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Рассмотрим основные свойства корреляционных функций: · Свойство симметрии: · При корреляционная функция дает средний квадрат отклонения С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения и или и : Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени от предшествующего значения в момент .Спектральная плотность - это функция, которая показывает распределение мощности сигнала по частотам. Для перехода от временного описания детерминированных (не случайных) процессов к частотному, используют преобразования Фурье и Лапласа.
План
Содержание
Введение
1. Случайные процессы и их вероятностные характеристики