Встановлення кількості сагайдаків часткових та однозначних відображень, їх зв’язок з досконалими праворядними кільцями скінченного типу. Дослідження алгебраїчно замкнених полем та характеристика квазіфробеніусового симетричного кільця у теорії графів.
Аннотация к работе
Київський національний університет імені Тараса ШевченкаСКІНЧЕННІ ОРІЄНТОВНІ ГРАФИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В СТРУКТУРНІЙ ТЕОРІЇ КІЛЕЦЬ Виконала Кулаковська Інесса Василівна В дисертаційній роботі застосовується до вивчення праворядних кілець техніка, яка повязана з поняттями сагайдака кільця і тензорних алгебр бімодуля, що дає простий опис класу кілець, до якого входять праворядні алгебри над досконалим полем. Також описуються дводольні графи, які виникають при вивченні скінченно представних модулів і доводиться теорема про напівпримарні напівдистрибутивні кільця скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю (діаграми таких кілець містять схеми Динкіна).Важливим етапом в розвитку теорії скінченновимірних алгебр над полем та їх зображень була робота швейцарського математика П.Габріеля, в якій було введено поняття сагайдака скінченновимірної алгебри та зображення сагайдака. В дисертаційній роботі досліджується звязок між нерозкладними напівдосконалими кільцями та певними видами скінченних орієнтовних графів, які співставлені таким кільцям. Описуються дводольні графи, які виникають при вивченні скінченно породжених модулів, і доводиться теорема про напівпримарні напівдистрибутивні кільця скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю. В роботі використовуються методи теорії графів, теорії зображень частково впорядкованих множин, методи теорії кілець та модулів. Метою дисертаційної роботи є вивчення сагайдаків різного типу відображень; обчислення кількості помічених праворядних сагайдаків; дослідження деяких класів напівдосконалих кілець та їх сагайдаків; розгляд слабосиметричних скінченновимірних алгебр та опис напівдистрибутивних та напівпримарних кілець скінченного типу, квадрат радикалу яких дорівнює нулю.Сагайдак називається праворядним, якщо з кожної його вершини виходить не більше однієї стрілки. В підрозділі 2.1 розглядаються сагайдаки напівдосконалих кілець і описується вигляд двостороннього пірсовського розкладу радикала Джекобсона цього кільця. Підрозділ 2.2 стосується властивостей первинного радикалу, який у випадку артінового справа кільця співпадає з радикалом Джекобсона. Сагайдак Q(A,A), асоційований з нільпотентним ідеалом A, звязний тоді і тільки тоді, коли кільце А є нерозкладним. В твердженні 3.1.4 і теоремі 3.1.5 розглядаються гомоморфізми В-бімодулей та ізоморфність веддербарнового кільця факторкільцю TB(V)/І, де тензорна алгебра TB(V) однозначно визначається сагайдаком Q(A) і кратностями ni.В дисертаційної роботі розвязується задача дослідження напівдосконалих кілець за допомогою їх сагайдаків, які відіграють важливу роль в структурній теорії кілець. Досліджено досконалі праворядні кільця та звязність їх сагайдаків; описано напівдосконалі та спадкові праворядні кільця, для яких узагальнено властивості сагайдаків праворядних кілець. Побудовано праворядне нетерове нерозкладне кільце, яке є прямим добутком артінового та напівпервинного кільця, та доведено існування слабосиметричної алгебри, яка не є симетричною.