Запис раціональних чисел у вигляді скінченних ланцюгових дробів. Розв’язування задач із неперервними схемами в електротехніці, автоматиці і обчислювальній техніці. Конгруенція першого степеня. Правила арифметичних дій. Засоби аналізу теорії ймовірностей.
Аннотация к работе
Кожне раціональне число можна єдиним чином представити у вигляді скінченного ланцюгового дробу. До того ж ланцюгові дроби дають найкращі наближення. На практиці ланцюгові дроби використовуються для розвязування задач, повязаних із неперервними схемами в електротехніці, автоматиці та обчислювальній техніці. ланцюговий дріб арифметичний Теорія ланцюгових (або, як їх іще називають, неперервних) дробів вивчає спеціальний алгоритм, який є одним із найважливіших засобів аналізу, теорії ймовірностей, механіки і загалом теорії чисел. У шкільному курсі завдання, які містять ланцюгові дроби розглядаються у 8 класі (підвищений рівень складності), у темі „Приклади на дії з дробами”.Окремі стародавні римляни також використовували дроби, чисельник яких теж був дробом. Таким чином, у стародавньому світі ідея неперервних дробів була зрозуміла й доступна: чисельник дробу може бути не тільки цілим числом, але й мішаним. Алгоритм утворення скінченних ланцюгових дробів був відкритий ще в Індії. Розкладав дійсні числа в неперервні дроби, використовуючи алгоритм Евкліда, у XI ст. Зіткнувшись із відношеннями дуже великих чисел Х.Гюйгенс намагався виразити ці відношення дробами з мешими чисельниками та знаменниками.Якщо число ? раціональне, то,як буде доведено нижче, для деякого натурального n матимемо , отже, записи, про які щойно йшла мова,обірвуться; якщо ж число ? ірраціональне,то їх, очевидно, можна буде продовжувати нескінченно. Вираз вигляду де - деякі цілі числа - називають елементарним ланцюговим, або елементарним неперервним, дробом. (1) і називають скінченним, точніше n-членним ланцюговим дробом, дріб у якого число ланок нескінченне, записують у вигляді і називають нескінченним ланцюговим дробом. Так дроби становлять найбільш важливий і разом з тим найбільш вивчений клас ланцюгових дробів; вони лежать в основі майже всіх арифметичних і багатьох аналітичних застосувань теорії ланцюгових дробів. Значення кожного скінченного ланцюгового дробу знаходимо в результаті виконання скінченної кількості разів раціональних операцій над елементами цього дробу.1) Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад: 2) Число представляється в виді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розвзком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами .(Теорема Лагранжа). 3) Для майже всіх дійсних чисел ""x"",середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хітчіна (K ? 2.6854520010...) 4) Парні наближені дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні-спадну. Це рекурентне співвідношення разом із початковою умовою та при Q 0 = 0, Q 1 = 1 задає послідовність Фібоначі.Значенням цього ланцюгового дробу є деякий звичайний дріб Отже, ланцюговий дріб (8) зображується звичайним дробом Проте таке зображення не є єдиним, бо якщо , то й , де l-будь-яке відмінне від нуля ціле число. Канонічним зображенням нуль-членного ланцюгового дробу вважатимемо дріб . Припустимо тепер, що канонічне зображення визначене для кожного ланцюгового дробу, у якого число ланок менше ніж n, і визначимо його для n-членного ланцюгового дробу. Дріб ми і вважатимемо канонічним зображенням ланцюгового дробу Таким чином, тепер канонічне зображення однозначно визначене для будь-якого скінченного ланцюгового дробу. Канонічне зображення відрізка (10) називають s-м підхідним дробом або підхідним дробом порядку s ланцюгового дробу (8).Загальним розвязком цього рівняння є або Припустимо, що в рівнянні (19) a, b і c-цілі числа і що потрібно знайти цілі розвязки цього рівняння, тобто розвязки, які складаються з цілих чисел. У цьому разі при будь-якому цілому значенні y число буде цілим, а число при цьому, взагалі кажучи, не буде цілим, оскільки ціле число може і не ділитися на ціле число a. Якщо вільний член c рівняння (19) не ділиться на найбільший спільний дільник його коефіцієнтів a і b, то воно не має цілих розвязків, бо в притивному разі c повинно було б ділитися на . Якщо пара цілих чисел задовольняє рівняння ax by=c, (20) де a, b і c-цілі числа й , то (21) де t-будь-яке ціле число, є загальним розвязком цього рівняння в цілих числах. Віднявши почастинно від рівняння (20) рівність (22), дістанемо рівнянняРозрахунки, які ми наводили вище, виникли при створенні календаря. Так при розробці сонячного календаря необхідно знайти відношення сонячного року і періоду Місяця, тобто раціональне наближення для числа 365,2421988... При створенні календарів ми маємо виправлення: високосні роки; у григоріанській системі, яка виправляє юліанську, не лише високосні роки, а й раз на сто років іще одне виправлення, і ще раз у чотириста років-іще одне...Діафантові рівняння-це алгебраїчні рівняння з цілими коефіцієнтами від двох чи більше змінних, причому знаходять лише цілі або раціональні