Функция распределения и плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
Аннотация к работе
5. Системы случайных величин (случайные векторы)Систему двух случайных величин при этом рассматривают как случайный вектор на плоскости ХОУ, составляющие которого по осям представляют собой случайные величины X, Y (рис. Функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<х и Y<у: Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки (случайного вектора), то функция распределения F(х,у) есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащий левее и ниже ее (рис. Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы: 5.3 Плотность распределения системы двух случайных величин Выразим теперь маргинальные плотности распределения каждой из величин, входящих в систему, через плотность распределения системы. дифференцируя по х соотношение (5.4.2), получим выражение для плотности распределения величины X: Аналогично Это условие в пределе равносильно условию X = х; следовательно, Откуда т. е. плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение.Закон распределения системы (заданный функцией распределения или плотностью распределения) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких случайных величин. В других случаях исследование вопроса с помощью сравнительно громоздкого аппарата законов распределения не оправдывает себя в связи с невысокими требованиями к точности результата. Во всех таких случаях вместо законов распределения применяют неполное, приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик. Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система п случайных величин , сводится к следующему: 1) вектор математических ожиданий: характеризующий средние значения компонент; Заметим, что дисперсия каждой из случайных величин Хі есть, по существу, не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно: Все корреляционные моменты и дисперсии удобно расположить в виде прямоугольной таблицы (называемой матрицей): Эта таблица называется корреляционной матрицей системы случайных величин .