Дослідження задач асимптотичної поведінки для великих значень параметра лінійно незалежної системи розв’язків сингулярного диференціального та квазідиференціального рівнянь. Вивчення асимптотики власних функцій сингулярного диференціального оператору.
Аннотация к работе
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СИНГУЛЯРНІ КВАЗІДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ОПЕРАТОРИ НА СКІНЧЕННОМУ ІНТЕРВАЛІРобота виконана на кафедрі будівельної механіки Національного університету “Львівська політехніка”. Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Тацій Роман Марянович, Національний університет “Львівська політехніка”, професор кафедри “Мости та будівельна механіка” Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Сторож Олег Георгійович, Львівський національний університет імені Івана Франка (м. кандидат фізико-математичних наук, доцент Щоголев Сергій Авенірович, Одеський національний університет ім. Захист відбудеться 4 березня 2005 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 у Одеському національному університеті імені І. І.Актуальним є поширення цих результатів на випадок квазідиференціальних операторів, коли коефіцієнти відповідних квазідиференціальних рівнянь є мірами. Взагалі кажучи, рівняння з узагальненими коефіцієнтами містять в собі проблему множення узагальнених функцій на розривні, а останні добутки не завжди існують в сенсі теорії узагальнених функцій. Стасюк, започатковано і розвинуто напрямок в теорії узагальнених диференціальних рівнянь, який ґрунтується на новому коректному означенні розвязку і критеріях коректності диференціальних рівнянь, явно виражених через коефіцієнти і праві частини цих рівнянь. Дослідження асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій спирається на побудову асимптотики фундаментальної системи розвязків і їхніх квазіпохідних при великих значеннях параметра відповідних квазідиференціальних (диференціальних) рівнянь. У дисертаційній роботі вперше досліджено асимптотику власних значень і власних функцій сингулярних квазідиференціальних операторів (а також більш загальної крайової задачі), породжених несамоспряженими квазідиференціальними виразами з мірами; узагальнено відомі результати щодо асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій крайової задачі для диференціального рівняння з вагою при параметрі на випадок, коли частина коефіцієнтів є мірами; вперше побудовано спряжені крайові умови в явному вигляді через квазіпохідні спряженої задачі; вперше побудовано функцію Гріна (і досліджено її властивості) для квазідиференціального оператора з мірами, породженого несамоспряженим квазідиференціальним виразом; доведено теореми про розвинення за власними функціями задач на власні значення для розглянутих класів рівнянь.Надалі будемо використовувати такі позначення: - множини натуральних, дійсних і комплексних чисел відповідно; - відкритий інтервал та відрізок дійсної осі; - число, комплексно спряжене до числа a; - вектор-стовпець; - лінійний простір комплексних матриць з нормою ; - простір оператор-функцій таких, що їх компоненти є неперервними справа на відрізку [a, b] скалярними функціями обмеженої варіації, такими, що ; - простір числових функцій , сумовних за Лебегом у р-му степені на відрізку [a, b]; - простір Соболєва функцій, s-та похідна яких належить простору ; - стрибок функції у точці ; o(1) для означає функцію вигляду таку, що достатньо малого таке, що для ; означає функцію вигляду , де для і деяких сталих L і N. Диференціювання і рівність в і розуміємо в сенсі теорії узагальнених функцій, вважаючи, що система і відповідне їй рівняння є коректними у тому розумінні, що виконується умова . Під розвязком коректної диференціальної системи розуміється функція з класу , що задовольняє рівність в сенсі теорії узагальнених функцій , де - вектор, складений з неперервних фінітних на [a, b] функцій. У третьому розділі побудовано спряжені крайові умови, функцію Гріна крайової задачі , , досліджено її властивості, а також одержано розвинення за власними функціями крайової задачі. При додатковому припущенні, що і для парного r, крім того, справджується нерівність , для крайової задачі , у пункті 3.3.4 отримано більш сильний результат: власні функції утворюють базис Рісса в , тобто будь-яку функцію з можна розвинути в ряд за власними функціями крайової задачі , .Для вирішення цієї проблеми використано критерії коректної розвязності таких задач, які явно виражаються через коефіцієнти і праві частини цих рівнянь.