Застосування методів ліївських та умовних симетрій для дослідження симетрійних властивостей і знаходження точних розв’язків нелінійних рівнянь та систем, які узагальнюють класичні рівняння Шредінгера, Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Нав’є-Стокса.
Аннотация к работе
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Роботу виконано в Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка . Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Сєров Микола Іванович, Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка, завідувач кафедри вищої математики. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професорДисертація присвячена дослідженню симетрійних властивостей і знаходженню точних розвязків нелінійних галілей-інваріантних диференціальних рівнянь та систем математичної фізики, які узагальнюють класичні рівняння Шредінгера, Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Навє-Стокса. Метою дисертації є застосування методів ліївських та умовних симетрій для дослідження симетрійних властивостей і знаходження точних розвязків нелінійних галілей-інваріантних диференціальних рівнянь та систем математичної фізики, які узагальнюють класичні рівняння Шредінгера, Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Навє-Стокса. Побудовано клас важливих з точки зору фізики математичних моделей, що задовольняють принцип відносності Галілея: циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера, рівняння Шредінгера з деривативною нелінійністю, система рівнянь Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, модифікована система рівнянь Навє-Стокса. З використанням симетрійних властивостей були одержані класи точних розвязків цих рівнянь. Особистий внесок: Доведена теорема про симетрійну класифікацію системи рівнянь Навє-Стокса відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних і проективних перетворень, симетрійні властивості використані для побудови точних розвязків цієї системи у випадку .В 1.1 розглянуте узагальнене нелінійне циліндрично-симетричне рівняння Шредінгера вигляду: де - комплексна функція, , m - const, , , яке при конкретних нелінійностях має широкий спектр фізичних застосувань: в розповсюдженні хвиль в нелінійних та розсіяних середовищах; в квантовій теорії поля; в часозалежній моделі фазових переходів Ландау-Гінзберга та розповсюдженні повільно розбіжних електромагнітних хвиль в плазмі; в теорії слабо нелінійних розсіяних водяних хвиль; в нелінійній динаміці надрідких тонких оболонок, для яких y є хвильовою функцією, в теорії світлових хвиль. У випадку, коли k = 2, N=1 рівняння (1) відіграє важливу роль в теорії світлових хвиль. Була проведена класифікація цього рівняння відносно алгебр Галілея в залежності від вигляду нелінійності. Рівняння (3) є інваріантним відносно алгебри Галілея з базисними операторами: У випадку, коли (3) має вигляд: , досліджена максимальна алгебра інваріантності. Рівняння (4) інваріантне відносно алгебр Галілея з базисними елементами: коли , l - довільна стала, l є С (?0).