Изучение понятия привилегированных акций, которые являются смешанной формой финансирования, так как имеют черты облигации и обыкновенной акции. Портфель инвестиций и модель его оптимизации. Модель ценообразования основных фондов и формирования цены акции.
Аннотация к работе
Среди корпораций, выпустивших акции, существуют закрытые акционерные общества, акции которых распределяются среди их учредителей, и открытые акционерные общества, акции которых продаются и покупаются свободно. Высшим органом управления акционерного общества является общее собрание акционеров, на котором каждый акционер обладает правом голоса пропорционально сумме имеющихся у него акций. Если компания успешно ведет дело и цены на ее акции растут, то инвестор может ожидать получения хороших дивидендов по акциям этой компании, а также прибыль при продаже акций на рынке. Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью получать доход на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене, перед тем как большинство участников фондового рынка начнут это делать, и продавая по высокой цене, перед тем как другие будут это делать. Действительно, если ожидаемая доходность по рисковому активу не превосходит доходность по безрисковому активу: IMG_45f06d9d-e4e4-46f8-80e7-50285469f4af , то в любом случае инвестор предпочтет безрисковый актив рисковому и полностью вложит весь капитал в безрисковый актив: IMG_cc273c96-f00c-4f14-9dad-52b4f1e8a953 . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только первый случай, когда IMG_ce79ea63-13c3-46a6-9d6a-ce39f249afea .В нашей прежней экономике ценные бумаги не пользовались популярностью, не считая принудительного насаждения облигаций государственных займов, которые никто не называл и не считал ценными бумагами. Получение процентов, дивидендов на ценные бумаги считалось нетрудовыми доходами, исключение представляли выигрыши по облигациям и лотерейным билетам. Если тебе не достает денег, ты выпускаешь ценные бумаги, продаешь их на рынке ценных бумаг и обретаешь деньги. Следует отметить, что введение различного вида ценных бумаг в финансово-денежный оборот позволяет без увеличения общей денежной массы повысить мобильность финансовых ресурсов, сосредоточить их на более важных участках производства, обращение, потребление продукции, товаров и услуг. Направление инвестирования, то есть вложения средств, определяется на рынке спросом и предложением, возможностью получения для инвесторов большей прибыли при равном риске вложений.
Введение
Корпорация или частная фирма, которой требуется заем, может получить необходимые деньги, взяв кредит в банке или выпустив долговые обязательства. Однако существует еще достаточно много способов привлечения средств компанией. Одной из наиболее распространенных форм финансирования собственного капитала компании является продажа части своих активов путем выпуска долевых ценных бумаг. Такие ценные бумаги называются акциями, а компания, их выпустившая, - акционерным обществом.
Среди корпораций, выпустивших акции, существуют закрытые акционерные общества, акции которых распределяются среди их учредителей, и открытые акционерные общества, акции которых продаются и покупаются свободно. Совладельцем объединенного имущества открытого акционерного общества может стать любой, кто приобрел хотя бы одну акцию. Высшим органом управления акционерного общества является общее собрание акционеров, на котором каждый акционер обладает правом голоса пропорционально сумме имеющихся у него акций. Именно на общем собрании акционеров выбирается правление корпорации, или совет директоров, которое руководит текущими делами акционерного общества.
Существуют два основных вида акций, различающихся по выплате дивидендов по ним и степени риска вложения капитала в них. Это обыкновенная акция и привилегированная акция.
1. Основные понятия
Привилегированные акции являются в некотором смысле смешанной формой финансирования, имеющие черты облигации и обыкновенной акции. С одной стороны, они определяют фиксированный доход (дивиденды), который должен выплачиваться через равномерные промежутки времени, чем напоминают купонные облигации. С другой стороны, они не имеют определенного срока погашения, поскольку могут быть выкуплены эмитентом в любое удобное для него время. Таким образом, как и обыкновенные акции, их следует отнести к бессрочным ценным бумагам.
Привилегированные акции получили свое название в силу того, что в случае ликвидации фирмы претензии владельца привилегированной акции удовлетворяются после претензий кредиторов, но раньше, чем обязательства компании перед обыкновенными акционерами. При этом, как правило, обязательства фирмы перед привилегированными акционерами удовлетворяются не более чем на сумму номинальной стоимости акций, которыми они владеют. Более того, хотя оговорено, что привилегированная акция приносит инвестору некий фиксированный дивиденд, в действительности выплата этих дивидендов скорее производится по усмотрению компании, чем является строгим обязательством, так как невыплата дивидендов не является нарушением обязательств перед кредиторами и тем самым не ведет к несостоятельности компании. Поэтому совет директоров имеет право принять решение проигнорировать выплату дивидендов по привилегированным акциям. Таким образом, хотя привилегированные акции и близки к облигациям, инвестиции в них являются более рискованными.
Привилегированные акционеры не имеют права голоса на общем собрании акционеров, в том числе и при избрании членов правления. Поэтому они не могут оказывать существенное влияние на состояние дел в компании за исключением той ситуации, когда компания на протяжении определенного пери ода не выплачивает дивиденды по привилегированным акциям. В этом случае привилегированные акционеры имеют право выбрать в правление определенное число директоров.
Рисковый капитал, который позволяет новым фирмам начинать свою деятельность, а существующим - расширяться, получается обычно путем продажи обыкновенных акций. Обладатели обыкновенных акций компании, или просто акционеры компании, являются ее владельцами. Поэтому они полностью принимают риски, связанные с владением капитала данной компании, а в случае ее ликвидации их претензии погашаются после полного удовлетворения требования кредиторов и привилегированных акционеров. Это означает, что в случае банкротства компании они несут убытки вместе с компанией и могут потерять часть своего инвестированного капитал или даже весь. С другой стороны, их возможные доходы ничем не ограничиваются. Если компания успешно ведет дело и цены на ее акции растут, то инвестор может ожидать получения хороших дивидендов по акциям этой компании, а также прибыль при продаже акций на рынке. Дивиденды на обыкновенные акции являются распределением прибыли компании среди ее владельцев и зависят от того, сколько заработала корпорация в текущем году и какой является дивидендная политика правления компании. Так как обладатели обыкновенных акций являются владельцами компании, они имеют право голоса при избрании совета директоров и тем самым имеют возможность влиять на экономическую политику и практическую деятельность компании.
Существуют и другие виды акций, оговаривающие долю участия акционера, специальный способ выплаты ему дивидендов и т.п.
Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью получать доход на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене, перед тем как большинство участников фондового рынка начнут это делать, и продавая по высокой цене, перед тем как другие будут это делать.
Рыночная цена акции данной фирмы во многом будет зависеть от рискованности ее будущих доходов, от отношения акционеров к риску и, конечно, от уровня процентных ставок по безрисковым ценным бумагам. Чтобы оценить эту величину, требуется проанализировать достаточно большой объем информации, влияние которой на значение цены акции или прибыли при инвестиции в нее порой носит неопределенный характер. В условиях такой неопределенности оценка требуемых величин может быть основана только на построении стохастических математических моделей. Такого рода модели довольно часто используются в экономике и основаны на логических принципах раздела математики, называемого теорией вероятностей.
Удобный способ формализации неопределенности состоит в использовании концепции «состояния мира». Состояние полностью определяет все переменные, являющиеся внешними по отношению к рынку. Например, состояние может включать спрос на продукцию фирмы, цены ресурсов и полуфабрикатов и т. д. Представим себе всю экономику мира как некоторый случайный эксперимент. Тогда множество исходов этого эксперимента и есть множество состояний мира. В теории вероятностей такое множество называется пространством элементарных событий и обозначается
IMG_b8a19e4b-c90d-463e-8d0e-d842b95f3d39 . Тогда каждое элементарное событие
IMG_ceb0b50b-56a2-4167-8bd1-c7fdf635fa2f есть исход нашего эксперимента или состояние мира. Принято различать пространство элементарных событий на два типа: дискретное и непрерывное. Под дискретным множеством состояний понимается конечное или счетное множество. Все остальные относятся к непрерывным.
Численной оценкой шансов появления того или иного случайного события А является его вероятность Р(А). Так как любое случайное событие, связанное с экспериментом, можно разложить на благоприятствующие ему исходы, то вероятность его появления однозначно определяется, если нам заданы вероятности элементарных событий. В случае дискретного вероятностного пространства это означает, что каждому возможному исходу
IMG_7234de3a-3862-4a40-a7fd-0c187f882f4b . Если же множество исходов непрерывно, то будем предполагать, что на
IMG_8671be6b-1889-4c92-b54f-7a156fd7c0a9 задана некоторая числовая функция
IMG_606e0077-c8d4-49eb-895b-828b2b4b3185 , являющаяся плотностью вероятности Р. Тогда вероятность события А определяется по формулам: для дискретного случая
IMG_c4170b4f-2a56-40c3-82b1-fa5120eeb151
, для непрерывного случая
IMG_9d7506bc-918a-4228-aee5-c14e36aeef09
.
Вероятность принимает неотрицательные значения и обладает свойством нормированности (т.е.
IMG_0abd7b39-3cd7-4a05-bfd8-289a0b0d6818 ), введенные функции
IMG_273cef99-0ffe-4ddd-a141-f43e0b8ce496 неотрицательны и удовлетворяют следующим соотношениям в дискретном и непрерывном случаях соответственно:
IMG_91ad97eb-9d56-40e0-ac85-e5f2e0791e5f и
IMG_dc64afe8-2f3e-4171-af0b-f71f300597f0 В условиях случайного эксперимента любой числовой параметр является функцией
IMG_8e55646d-296d-434b-946b-379e46dbf7f5 от возможного исхода
IMG_0e1acdc6-1eed-458b-a064-69273dfbd83d .
Такие функции в теории вероятностей называются случайными величинами. Каждой случайной величине
IMG_a8d71499-9bbf-4681-b3b0-9db86913ef57 ставятся в соответствие ее числовые характеристики. Основными из них являются математическое ожидание E
IMG_3dfc12cb-7dee-46ab-a225-93c89f5e3364 и дисперсия D
IMG_b0e0a387-93c0-4c8b-9dac-eb3a524bfe27 . В случае дискретного вероятностного пространства они находятся по формулам:
IMG_61f29f5a-7eda-44b4-872f-0a47be4fcb7d
(1)
IMG_88c7c448-7564-49de-a1c1-a6475e64c39f
IMG_edb5eaa1-5a4f-4828-a96e-fb5148ab38ef
(2)
Если вероятность определяется плотностью
IMG_6b041f33-06a2-4425-904e-057f85a4927c , то
IMG_25b79806-88e0-44d1-add1-aa62cbe10bb1 (3)
IMG_fb42d47e-7fd7-4cfc-981d-c2106b1a3bb0
(4)
В силу неотрицательности вероятностей
IMG_51a6ce80-861f-4dd3-aefb-8b82c14a468d дисперсия D
IMG_83084c6c-a2ec-4119-92de-24d547abf115 есть величина неотрицательная. Поэтому можно определить квадратный корень из дисперсии:
IMG_fefa80f0-dd53-4519-a7bf-623bc7b5a033
Величина
IMG_baaffe9e-abf8-442e-a107-7d10f448abd4 называется средним квадратичным отклонением. Очевидно, что
IMG_b422a844-7592-4e88-8f4b-32fff7225d24 . Как принято, данная величина характеризует стохастичность случайной величины
IMG_950bf3e7-79ac-4c28-98e8-2c5506f5c270 . Это означает, что, чем больше
IMG_c5a1a0fc-14b0-4768-aa7d-5590c7cf7805 , тем более случайной является функция
IMG_ab73da28-afb7-4713-9f64-9b45e5632467 . В частности, если
IMG_ce54929a-4f05-43d2-9ed6-986eca3a2045 , то с вероятностью 1
IMG_b2087bf1-4b90-4053-b7b3-c5d7d3e89466 не зависит от исходов эксперимента, то есть является неслучайной константой.
Нетрудно показать, что для заданных констант А и В математическое ожидание и дисперсия случайной величины A
IMG_0960564a-d71d-4cc0-a585-c3b75dff46b0 В выражаются через числовые характеристики случайной величины
IMG_4ddeeaac-7959-49ad-9f74-e229b35264a9 следующим образом:
IMG_a343d3b6-a224-4548-b155-8242100094b6
,
IMG_90c6b43d-ffc1-45ba-94b0-022f1837dd27 (5)
Если нам заданы две случайные величины
IMG_f9f4fa14-8cd9-476c-a9c6-7b698db7022d и
IMG_23a40fa3-8ce6-4600-ade6-eada0b99e293 , то их совместное распределение определяет ковариацию cov(
IMG_32b60a17-a5a5-45f3-8a03-70445599349e ,
IMG_bc1dfacc-0c8e-44b5-9fc2-92b5b5a8fa7a ) по формулам: в дискретном случае
IMG_a6661091-2087-41fc-afed-d57d23d51c1d
, в непрерывном случае
IMG_f4220fb1-c835-4ef1-8c06-bad217c75c3a
.
Очевидно, что
IMG_355bcf0b-6e0d-462a-abe8-f1a63029a47e
IMG_4617096b-f1b4-41af-94fb-705563030817
.
Большое значение при оценке взаимовлияния случайных величин друг на друга имеет коэффициент корреляции определяемый как
IMG_e466d6d7-e456-4400-bdaf-64789f0689cc .
В некотором смысле он понимается как косинус угла наклона между возможными направлениями двух случайных величин. Так же, как обычный косинус некоторого угла, коэффициент корреляции принадлежит отрезку [-1, 1], то есть
IMG_9234926c-0813-422f-b56a-b3b099cb6d6a .
2. Портфель инвестиций
Чтобы все фирмы были в равных по времени условиях, будем предполагать, что через единицу времени все фирмы ликвидируются, а полученные доходы распределяются среди акционеров в качестве дивидендов. Дивиденды, выплачиваемые на акции каждого типа, будем считать случайными величинами. Другими словами, существует некоторое пространство элементарных событий
IMG_04668e23-6d81-40c6-9fd4-7cc4baaf7e7d с заданной на нем вероятностью Р.
Через
IMG_475dca90-7d30-4675-8190-fb3ba431ce9b дивиденд, обозначим, выплачиваемый на акцию
IMG_881cd0cf-ba74-4769-9f4a-6f5346490cf3 в состоянии
IMG_d5bea7ed-4eaf-4a75-b631-acb8baaaf4a9 . Пусть S
IMG_27e10518-a3c6-458c-9c1a-0b71ae175749 - цена акции
IMG_faf39e0e-5b3e-4384-a56a-2dc18f857d1c в начальное время. Тогда
IMG_8ce3b826-ce1a-4eb1-92b7-b894bc0e9944
является доходностью акции
IMG_205adca4-a157-4b83-b3ef-40e3108a0970 в состоянии
IMG_b15169c5-f592-4853-a6cd-0e41a930e727 . Так как это случайная величина, то ей можно поставить в соответствие математическое ожидание
IMG_d78ca8bc-01e1-4aec-9d39-0d2b7f79ddf7 и дисперсию
IMG_d3630da5-a499-4a93-821f-ebccb115e109 . Таким образом, каждой акции
IMG_6dc44f1f-85ad-48f1-9177-5714d565079e мы ставим в соответствие ожидаемую доходность
IMG_7e81322a-4018-4b13-873a-7f0edb9f08f8 и среднее квадратическое отклонение
IMG_fbf4c026-6d47-4736-b254-e212b6672654 ,
IMG_504d40b9-03af-451e-8eb9-49b1f2f6737d = 1, 2,..., N. Взаимная зависимость акций определяется матрицей ковариации, каждый элемент которой равен
IMG_70d51e7b-b6ef-402e-9d19-9f6a717f13c8
.
В частности,
IMG_7021294a-f181-4420-8ed9-226a712c4166
.
Рассмотрим теперь некоторого инвестора, имеющего капитал W и желающего весь его инвестировать в имеющиеся акции с целью получения дохода через единицу времени. Допустим, что
IMG_fa1a2fc0-9b91-49f2-891a-7118ba29196c - число акций типа
IMG_12170425-728b-47d6-afab-7cc55e226102 , купленных в начальный период. Тогда
IMG_f7942e3e-5aa6-4c8f-81e2-9b9753005a02 . (6)
Обозначим через
IMG_b4dd162e-8b0e-4d72-8236-48f08980504d
(7) долю инвестиций в акции
IMG_5d7c14ec-1d1a-4421-b46f-d10ef659fb68 . Набор действительных чисел
IMG_9020a081-cc14-4006-ae7c-7272e852b32e
, удовлетворяющих условию
IMG_c28bc50e-67bc-452f-b0c8-a6f881652882
, (8) называется портфелем инвестиций. В большом количестве примеров помимо ограничения (8) вводится условие неотрицательности активов
IMG_9099462d-4935-4e9e-bf10-4392397e1dc3 . Однако в общем случае можно предположить, что у инвестора имеется возможность взять взаймы любое количество акций
IMG_4e8e060e-13f2-497b-90d7-75ab15d72c6a и продать их на рынке в начальный момент времени. Такое действие называют открытием коротком позиции по акции
IMG_70595518-03dd-432f-87cc-5c3c94be2629 , и в этом случае
IMG_58ef5ba6-4b8f-432d-a58b-599f2cd466c1 и
IMG_12328371-e5fd-4f29-a584-325b2350c19f - отрицательные числа. Через единицу времени инвестор обязан закрыть короткую позицию, вернув своему кредитору соответствующие акции. Обычная покупка акций
IMG_33ce3335-0e7c-4847-9f83-dcca91c46ff7 , естественно, понимается как открытие длинной позиции по данной акции. В дальнейшем мы не будем ставить какие-либо ограничения на открытие короткой позиции по акциям, если это не будет оговариваться в контексте. Вне зависимости от коротких и длинных позиций по акциям будем считать, что балансовые уравнения (6) - (8) всегда вы полнены. Это означает, что весь капитал инвестора используется в портфеле инвестиций.
Тогда ожидаемая доходность портфеля и его дисперсия находятся по формулам:
IMG_b842375d-213a-4a6e-8bb7-e8affeba6e56 (9)
IMG_2df50370-5f25-4529-b25d-16cc58ba26ed
(10)
Полагая в качестве оценки риска портфеля меру случайности доходности портфеля - среднее квадратическое отклонение, для каждого допустимого портфеля на плоскости «риск-Доходность» можно отметить точки, координаты которых равны среднему квадратическому отклонению и ожидаемой доходности портфеля. В случае с запретом на открытие коротких позиций, когда
IMG_9a19519f-5d17-47fd-8887-7675f99ff733 , это приведет к рисунку 1. Данный рисунок показывает возможные соотношения между риском и доходностью на данном рынке. Заметим, что каждая точка в заштрихованной области соответствует портфелю инвестиций. Если инвестор заинтересован в максимизации ожидаемой доходности и минимизации риска (в данном случае среднего квадратического отклонения), то для него играет роль правило левого верхнего угла. Суть этого правила состоит в том, что если выбрать некоторый портфель
IMG_3bf0494e-b651-4a29-b697-8a8aebe80ca5 и на соответствующей ему точке А
IMG_f2133572-4f17-4fb9-949c-d4ea8405064b на плоскости «риск-доходность» построить левый верхний угол, то любой портфель
IMG_e53a6a5e-78e6-4d33-bae5-f577be52656d с соответствующей ему точкой А
IMG_b5007f70-5148-4142-b7f4-528518ef863d из построенного угла является для инвестора более предпочтительным, чем первоначально выбранный портфель
IMG_597cf8b2-64f0-4e43-9ec8-7a31e354044f (см. рис. 1).
Для каждого допустимого значения доходности
IMG_00b1a79e-dbe6-4218-a118-12941327d48c можно выбрать граничную точку построенной области как точку, соответствующую портфелю инвестиций с заданной ожидаемой доходностью и наименьшим значением риска.
IMG_987ede06-c5ec-4d3e-ad9b-20de1ba248f0
Рис. 1. Плоскость «риск-доходность»
На рисунке 1 это точка В. Понятно, что для инвестора координаты граничных точек и соответствующие им портфели являются наиболее важными с точки зрения оптимального выбора инвестиций, так как с учетом правила левого верхнего угла для любой внутренней точки области всегда найдется более предпочтительная точка на границе. Форма границы в общем виде имеет достаточно сложный вид, который в теории принято называть формой пули.
Главное свойство этой кривой состоит в том, что она является выпуклой влево. Этот факт основан на следующих рассуждениях. Рассмотрим простейший случай, когда на рынке имеются два вида акций, то есть N = 2. В этом случае область допустимых точек на плоскости «риск-доходность» будет кривой, которую можно определить параметрически следующим образом. Пусть t - параметр кривой. Положим
IMG_65973a2e-e1a6-4264-98f0-660b447dd76d = t - доля акций первого типа,
IMG_daf0046f-3264-4f2d-8219-4c8e534a1f66 = 1 - t - доля акций второго типа. Тогда допустимые портфели
IMG_358d92df-16e5-481a-8dbd-bbfc854e6a1e однозначно определяются параметром t. Нетрудно увидеть, что ожидаемая доходность такого портфеля
IMG_20b89953-c154-4100-a58f-6e8716ec63b4 есть линейная функция от t. Соответственно, дисперсия доходности портфеля
IMG_b8d83b5f-1298-48f9-baa9-f7452083b982 равна
IMG_d361b71a-33ea-40cb-b60c-ae64d4693da2
И является квадратным трехчленом от параметра t. Поэтому Множество точек
IMG_8389e0b1-b0cc-4b23-90fb-fae121b0dba4 на плоскости «риск-доходность» будет частью гиперболы, проходящей через точки
IMG_60cf0a0f-2de7-41be-b031-c9ef40969fc3 и
IMG_5fa29732-4a12-4f97-8ee7-a55e35383440 , определяющих риск и доходность акций первого и второго типов соответственно (см. рис. 2). Для определенности на рисунке 2 рассмотрен частный случай, когда
IMG_751832d1-6413-499c-b3fe-621f0ce188c1 и
IMG_6e0695d7-13ea-4563-9302-7d7f2232ea96
IMG_2f9da4d6-d42b-4ec4-8322-413312c64fd5 . Все другие возможные случаи аналогичны.
IMG_08314000-1670-4d84-a54b-def23c1751f1
IMG_c47a7c1c-8ba0-49a9-acdf-310fcb590f27
Рис. 2. Кривая «риск-доходность» портфеля из двух акций
Рассмотрим теперь отрезок, соединяющий вершины
IMG_da141566-fa7a-478a-b18b-0e8386a5bd7c и
IMG_4cd9777b-38d0-4d6b-a7ea-8f22d63a301c . Параметрически каждая точка
IMG_26f546fc-451e-48fe-903f-7c31175701df этого отрезка определяется координатами
IMG_70e634f7-83bb-42a1-a058-3f1504c6dbee , где
IMG_b53385e3-f8ae-43c0-a37a-9971211f99bc
.
IMG_106420be-a6f0-4ad2-9fb6-1728083ca038 (11)
Тогда для доказательства выпуклости влево построенной кривой необходимо убедиться, что для любого
IMG_7a73f89d-2ab4-46fb-a86b-0e15833146fb точка
IMG_51d72415-3592-41d2-a848-334d2a576052 находится левее точки
IMG_84d1fecd-5d69-44e1-880c-9000bb9f7c15 . Проверим, что в действительности
IMG_564712a2-3a27-4985-acbb-9c236f5df911 или
IMG_4fc50298-ddc2-4b8b-a831-bebec98f5d42 Для этого преобразуем формулу дисперсии доходности портфеля
IMG_53367991-0e49-4fed-9581-d6d6f70b6373 в следующем виде
IMG_7c742165-957f-41dc-a396-caedd100ca01
Тогда с учетом (11) получаем, что
IMG_cf1e4d0d-dd71-44bb-a179-592b33eba004 (12)
Так как параметр t берется из интервала (0,1), знак второго слагаемого в правом выражении выписанного равенства определяется разностью
IMG_2c18bf3a-6133-4c4d-98dc-e258b1023de6 неслучайны). Это означает, что рассматриваемые акции являются сильно зависимыми и риск инвестиций в портфель из этих акций может быть уменьшен только пропорционально уменьшению ожидаемой доходности портфеля. Противоположной данному случаю является ситуация, когда коэффициент корреляции
IMG_39ab483a-11d2-4740-9654-ef4326be9173 . В этом случае также имеет место линейная зависимость (14). Если в результате доходность по одной акции оказалась отрицательной, то доходность по другой обязательно положительна. Последнее дает возможность снизить риски до минимального для этого вырожденного случая. Рассмотрим вид допустимой кривой на плоскости «риск-доходность» при условии
IMG_96724a7d-da85-4702-ad40-dd45139e615c . Подставляя это значение в формулы (11) и (13), получаем
IMG_bfff500a-3a71-4c16-8ef0-81ecba82ff99
В силу свойств модуля, в итоге имеем, что
IMG_5af10bf2-a730-4e36-a39b-e9bf392fdd26
Следовательно, в этом случае кривая будет представлять собой два прямых отрезка
IMG_438dcef6-455e-4f63-8e1b-df60b8352397 и
IMG_82c92cd1-9dbc-490a-ade3-ac687c84990f (см. рис. 3). Нетрудно увидеть, что, при
IMG_969f5858-5751-442b-bc71-9ebe0619adfe ,
IMG_b5072fd6-b62e-4044-b6ed-f1f173d5e899 и портфель
IMG_5658e8c6-15d5-485d-8801-11388afa09a5 является безрисковой инвестицией с неслучайной доходностью
IMG_b428a3b1-a2b5-4863-85c6-d4e1f9c03cb2 , равной
IMG_04e330cd-d0f6-42a1-92a2-058820e518e1
Это означает, что в рассматриваемой вырожденной ситуации можно подобрать портфель акций таким образом, что риск инвестиций в этот портфель станет нулевым.
IMG_37b745ba-cb8d-4057-b27d-f1c87dc494c8
Рис. 3. Зависимость кривой «риск-доходность» от коэффициента корреляции
IMG_adeb510e-8bb5-40c3-9bed-b630e6904c05
Таким образом, допустимые кривые на плоскости «риск-доходность» являются дугами гиперболы с концами в точках
IMG_5be01570-21d0-44c2-ace4-2c8e9b719db6 и
IMG_75afae33-2c3e-4984-9d17-fbe4ede9b460 . Как видно из рисунка, чем меньше коэффициент корреляции по акциям, тем более выпуклой является дуга гиперболы, а значит, тем больше возможностей уменьшить риск по портфелю инвестиций.
3. Простейшая модель оптимизации портфеля привилегированный акция инвестиция цена
Допустим, что у нас имеется две возможности инвестирования. Первая - в безрисковый актив с доходностью
IMG_e7881c6a-e795-4265-b8c2-ec4967bd175e . Это означает, что, инвестируя в этот актив, вне зависимости от случая мы всегда будем иметь прибыль, равную
IMG_1156211b-2fd4-45b6-bb11-9de21d757395 . Вторая возможность инвестирования представляется некоторой акцией (или портфелем акций), доходность по которой является случайной величиной
IMG_90faf603-1252-41a7-a674-637f23d137b3 с математическим ожиданием
IMG_0c4923ed-2363-4b8e-9c4a-a12142cfdea7 и средним квадратическим отклонением
IMG_f33081fe-9f19-4359-a5cd-921650d4703a . Рискованность этого актива предполагается условием, что
IMG_d0c474c4-d26c-4ae8-9d85-014c6d250a6a .
Портфель, состоящий из безрискового и рискового актива, однозначно будет определяться долей t капитала, инвестируемой в рисковый актив. Понятно, что оставшаяся часть капитала
IMG_7d9d3c01-76fc-461f-bc35-5e47d46fc9a0 будет вложена в безрисковый актив. Введем ограничения на открытие коротких позиций по активам, предполагая, что
IMG_78b8968b-7b92-4137-bc99-584e619d03f5 . Таким образом, любое число t из отрезка
IMG_6c5720f9-96f5-40d4-ad7c-4d6eac352ab6 определяет портфель
IMG_f9b73f7f-ed88-498f-8daf-9a9aaf3c9835 инвестиций в безрисковый и рисковый активы. Для каждого такого портфеля его доходность определяется по формуле:
IMG_0a35e69c-b884-4b68-bb5e-7bd9dbf0e68c
Тогда ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по каждому портфелю равны, соответственно,
IMG_f3eb2094-45cb-4ccf-9d1a-97ab1b4d1018 и
IMG_20d9c00c-e49a-42d1-99bb-04bef374e03f Каждая из этих функций является линейной функцией от
IMG_61d91578-68c7-4971-8af0-039d6b936602 . Перед каждым инвестором стоит выбор оптимального портфеля по каким-то собственным критериям. Будем предполагать, что каждый инвестор интересуется только риском и доходностью портфеля, оценивая риск при этом средним квадратическим отклонением
IMG_f78f1214-ece2-40a0-beea-960d567fa018 , Оптимальный портфель будет определяться каким-то конкретным значением
IMG_2ba6baf1-131b-4a65-b74b-85f1374e212b .
Рассмотрим несколько различных вариантов оптимизационных задач, которые могут возникнуть перед инвестором.
1. Максимум ожидаемой доходности. Предположим вначале, что инвестор не интересуется риском и оптимизирует портфель, стараясь получить максимум ожидаемой доходности. Тогда формально его задача имеет следующий вид:
IMG_b9c4638b-e5aa-413d-b017-62f46360575f .
Решение этой задачи зависит от знака линейного коэффициента
IMG_d458052c-fc6a-46a6-a252-afe561632c6c . В зависимости от него имеется три возможных случая изменения ожидаемой доходности
IMG_3d307b9b-3f6f-4e4e-8ca8-02707122fd3c как функции от пара метра
IMG_2a67a75a-f2d2-4df5-9f39-b85cdb4f288f . представлены на. В первом случае, когда
IMG_8ec0000c-270b-4182-979a-6b6d48ca512f , функция
IMG_c2bff7cd-dacf-493e-b7f9-e653d8712eb0 возрастает и достигает своего максимума при
IMG_80a26eb7-b821-4aba-b9b3-17b4101f2300 . Это означает, что оптимальным в этом случае является портфель, когда все вкладывается в рисковый актив. Если же, наоборот,
IMG_25678621-413b-49c3-be26-a99f2c8399de , то функция
IMG_146ed01b-75d1-4fbf-8690-4800f9cc24fe убывает,
IMG_78c3eaa9-05ae-4281-8bb1-ee3a6d1255ed и оптимальный портфель состоит из инвестиций только в безрисковый актив. Наконец, в третьем случае, когда
IMG_9f9e3b79-a5fe-4092-8e47-a0c45cc76ce7 , функция
IMG_71254551-96d9-426c-8c73-0bf12584b332 является постоянной и любой портфель может быть оптимальным.
Следует заметить, что второй и третий случаи являются очевидными с точки зрения инвестора. Действительно, если ожидаемая доходность по рисковому активу не превосходит доходность по безрисковому активу:
IMG_45f06d9d-e4e4-46f8-80e7-50285469f4af , то в любом случае инвестор предпочтет безрисковый актив рисковому и полностью вложит весь капитал в безрисковый актив:
IMG_cc273c96-f00c-4f14-9dad-52b4f1e8a953 . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только первый случай, когда
IMG_ce79ea63-13c3-46a6-9d6a-ce39f249afea . В этом случае предпочтение безрисковому активу не является очевидным.
2. Задача Марковица. Наиболее часто встречаемая задача оптимизации портфеля была впервые описана Г. Марковичем и имеет следующую постановку. Допустим, что задан некоторый уровень доходности
IMG_523cdd45-fa2c-4f08-977f-f4ba65d61aae , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций, определяемый дисперсией доходности портфеля, был минимальным. В нашем простейшем случае задача Марковица может быть формализована следующим образом:
IMG_fd325da8-a426-48ba-bc70-e51fbda3442d
IMG_a9bb2dd2-59e6-42ff-9317-07ce41360633
Рис. 4. Иллюстрация к задаче Марковица
Естественно предположить, что
IMG_816266bc-0253-4a52-9af5-31951656bd2b , иначе задача либо не имеет решения, либо становится тривиальной. Так как
IMG_bcb7f250-411a-4a07-bc77-28b5f611b7a8 - возрастающая функция на отрезке [0, 1], ее минимум достигается в минимально возможном значении
IMG_48b42550-1974-406c-865b-f12ccafa6065 . В силу того, что
IMG_f05d7cbc-eee2-40a8-860a-29de31507f7a также возрастает на [0, 1], минимальное возможное значение
IMG_800f41d3-298f-43b7-b840-3150bfe64d2b определяется уравнением
IMG_632ac04c-383b-48d3-bf47-189d2a009530 (см. рис. 4.). Таким образом, имеет место равенство
IMG_23e12bdb-08d0-4a3b-891b-e93520709b42 из которого находим значение
IMG_ab5ec03d-bd71-46ff-9878-8a15b847a4df :
IMG_99580e58-748e-48a5-99df-550052749464
Соответственно,
IMG_146a53ff-6fea-4412-ad74-ece8587ee5c9
Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:
IMG_7b07bf6d-0c61-4d19-8ca6-3aa345928fce
Нетрудно убедиться, что ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю в этом случае находятся по формулам:
IMG_976bcda8-e4c2-4562-9ea5-fc3915b79242
3. Соотношение «риск-доходность». Предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность каждого портфеля. Пусть, как и прежде,
IMG_f8d975cb-1d12-4024-8d7d-e46bbde66a66 . Введем функцию рискованности следующим образом:
IMG_2bf6e190-d13d-46fa-9c8d-7bb1c6ab8a38
Здесь коэффициент q > 0 определяет предпочтение доходности перед риском для каждого инвестора. Если инвестор в большей степени предпочитает определять свои вложения доходностью, чем риском, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если же для инвестора более важным является риск, то он выберет коэффициент q маленьким.
В итоге задача оптимизации портфеля в этом случае имеет следующий формальный вид:
IMG_1735dc14-67cf-4560-89f5-8f9b00c3bed4
Как видно, функция
IMG_639cdaff-0c12-4ebd-bbcc-f3195676aeb7 является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом. Поэтому график этой функции представляет параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, функция имеет глобальный минимум, определяемый вершиной параболы. Координата
IMG_34d9132c-da06-4722-afc2-d29e9a289266 вершины параболы равна
Если это неравенство не выполнено и имеет место следующее соотношение:
IMG_99c6f330-bf53-44be-acdf-0f61b5cd1086
то
IMG_a141fb4e-bb07-410b-8bd2-bb29c61f2a20 и минимум функции
IMG_508ef218-a075-45b1-ad8b-fe5ad504bb8f на отрезке [0, 1] достигается в точке
IMG_0a2bfea3-ba2f-4a1c-b782-9a3479c6893e . Тогда оптимальный портфель выбирается по второму варианту и равен
IMG_71c19b2c-d0ff-4fdb-9215-7d4dd506c6c5 . В силу формулы (15) нетрудно получить его окончательный вид:
IMG_4162f477-28ad-4008-b5ed-53cda25111da (17)
Ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю равны соответственно:
IMG_f35bbc67-3886-469e-8859-7d13fd161413
Важную роль играет так называемая рисковая надбавка
IMG_b4fe4e94-fb64-45a9-8fc1-a024d37b31d5 . Она будет достаточно большой, если будет велика дисперсия доходности рискового актива или коэффициент
IMG_2c1fb18d-5732-4b11-b033-53d1c565c9e2 будет достаточно мал. Другими словами, рисковая надбавка тем больше, чем больше риск или чем он важнее для инвестора. Если ожидаемая доходность рискового актива не меньше доходности безрискового актива плюс рисковая надбавка (16), то инвестор предпочтет рискнуть и все вложить в рисковый актив. Если же рисковая надбавка настолько велика, что неравенство (16) не выполнено, то инвестор распределяет вложения в безрисковый и рисковый активы согласно формуле (17).
4. Модель ценообразования основных фондов
Рассмотрим множество точек на плоскости «риск-доходность», соответствующих допустимым портфелям инвестиций в акции, как показано на рисунке 5. Эффективная граница этого множества имеет форму пули, и именно она представляет интерес с точки зрения инвестора. Безрисковый актив на этой плоскости будет определяться точкой F на оси ординат с координатой
IMG_d265f173-9411-4d1e-991e-15505b361b81 , так как безрисковый актив имеет нулевую дисперсию.
Наличие безрискового актива расширяет возможности инвестора, так как он может комбинировать его с рисковыми активами. Такая задача инвестирования уже обсуждалась нами. Покажем геометрически, что для каждого инвестора, интересующегося только увеличением ожидаемой доходности портфеля и уменьшением его среднего квадратического отклонения, портфель инвестиций будет комплектоваться из некоторого фиксированного портфеля акций и безрискового актива.
IMG_ddd1e822-c477-493a-997f-ef113000af03
Рис.5. Плоскость «риск-доходность» с добавлением безрискового актива
Для этого выберем на допустимой эффективной границе произвольную точку А. Ей соответствует какой-то портфель акций
IMG_765db3cc-a7b1-46f9-8cfc-99625712423c с ожидаемой доходностью
IMG_c5cd23c2-7d34-464f-8541-e1a5b91a9ff6 и средним квадратическим отклонением
IMG_5046cf2f-23f1-41b4-bbc5-9c99ff4e2840 . Комбинация из портфеля акций
IMG_0160192d-1e0b-489a-8d0b-45101e8c46b9 и безрискового актива определяет на плоскости «риск-доходность» точку, принадлежащую отрезку FA. Если прямая FA пересекает эффективную границу, то на самой границе можно найти точку В такую, что прямая FB имеет больший угол наклона, чем прямая FA. Тогда на отрезке FB найдется точка С, ордината которой совпадает с ординатой точки А, а абсцисса
IMG_6246d414-ac4b-4698-be2e-d8937b6b0d79 меньше абсциссы
IMG_2f319150-b957-4008-9410-aa0fe08b2295 точки А. Таким образом, портфель
IMG_f179b556-d4e6-4ad9-acfb-38e68654f5dd , соответствующий точке В на плоскости «риск-доходность», будет для инвестора более предпочтительным, поскольку, комбинируя с безрисковым активом, он дает возможность получать портфель инвестиций с такой же ожидаемой доходностью, но с меньшим средним квадратическим отклонением. Продолжая увеличивать угол наклона секущей линии, подойдем к крайней точке М на эффективной границе такой, что прямая FM имеет максимальный угол наклона среди всех возможных прямых такого рода. Так как для точки М, с точки зрения инвестора, нет более предпочтительных точек на эффективной границе, значит, М определяет наиболее предпочтительный для инвестора портфель акций
IMG_af9d7354-0a58-48a1-8522-a6216587a24d . Такой портфель принято называть рыночным портфелем. Очевидно, что любой инвестор, интересующийся только увеличением ожидаемой доходности портфеля и уменьшением его среднего квадратического отклонения, будет выбирать комбинацию из рыночного портфеля и безрискового актива, которой соответствует точка на прямой FM. Прямую FM принято называть основной рыночной линией. Пусть, как и ранее,
IMG_1ea805af-3fb6-456b-a961-7e770b165bf6 и
IMG_91acfdc7-401d-4f50-b2f4-97ca92b85055 - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности рыночного портфеля. Тогда нетрудно вычислить коэффициент k угла наклона основной рыночной линии:
IMG_10422341-bbb9-409f-af09-2286f083a77b (18)
Коэффициент k в этом случае равен доле снижения ожидаемой доходности по рыночному портфелю на единицу уменьшения риска рыночного портфеля. Поэтому величину k можно понимать как рыночную цену риска.
Рассмотрим портфель инвестирования капитала в некоторую фиксированную акцию i и рыночный портфель
IMG_a9ad404f-cdcb-4a42-8435-fe27dfe6b7d3 . Пусть t - доля инвестирования в акцию. Тогда (1-t) - доля вложений в портфель. Понимая рыночный портфель как отдельную акцию, изменяя t, получим кривую на плоскости «риск-доходность», проходящую через точку М (см. рис.6.). Эта кривая касается внешней границы в точке М, так как целиком лежит внутри множества допустимых точек. С другой стороны, в силу предыдущих рассуждений, точка М выбрана так, что прямая FM касается эффективной границы. Отсюда следует, что FM является касательной и для кривой, образованной комбинациями из акции i и рыночного портфеля.
IMG_d64002af-a5d8-45d6-b050-c185d9fa4395
Рис.6. Иллюстрация к инвестированию капитала в рыночный портфель и акцию
Ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение такой комбинации определяются но формулам
IMG_98d6e32d-d571-4a71-a604-7fcde53ca6df
IMG_5fff6f2d-737b-4cf1-b271-6784ab68a1be где
IMG_3633cc87-d15d-4b30-b61c-a77c9fd57deb обозначает ковариацию доходностей акции i и рыночного портфеля. Продифференцируем по параметру t полученные функции:
IMG_63ea37b3-a74f-4a4c-954f-c5b0618be859
IMG_cf95397d-7dbc-437c-ae18-7bafe572981f
По этим формулам нетрудно вычислить отношение полученных производных в точке t =0:
IMG_9ab957e6-77a4-49bb-9ec6-70f59c5d0509
Так как основная рыночная линия касается внутренней кривой, найденная величина и есть коэффициент k наклона основной рыночной линии. Отсюда следует, что
IMG_698e86d0-434c-4894-842e-40b99251b540
Преобразуя полученное равенство, получаем
IMG_06b66aa8-06c1-469e-a41e-4a6a1f86b5a6
(19)
Обозначим через
IMG_079470dd-ff32-49b3-ba95-cb1d25f88505
(20) величину, которую принято называть коэффициентом бета акции i. Тогда приведенное уравнение примет следующий вид:
IMG_7743b53f-082b-47ef-961d-119a8f1567aa (21)
Уравнение в таком виде определяет линейную функцию зависимости между ожидаемым доходом на акцию от ожидаемого дохода на рыночный портфель. На соответствующей плоскости такая функция имеет график в виде прямой линии, называемой характеристической линией (см. рис.7.). Коэффициент бета выступает в данном случае в качестве коэффициента пропорциональности избыточной доходности акции i, равной
IMG_19b2e082-96b2-4d98-8d16-11cbb750bae4 , по отношению к избыточной доходности рыночного портфеля
IMG_fbc613da-6408-488e-8d93-0f2244e56a99 .
Уравнение (21) принято считать основным выводом созданной В. Шарпом теории, называемой моделью ценообразования основных фондов или САРМ-теорией.
IMG_64c3981b-73cc-4af3-adfa-8a6cc99dbbdd
Рис.7. Характеристическая линия доходности акций i
В основе этой теории ценообразования рискованных финансовых активов в условиях рыночного равновесия заложены принципы формирования инвестиционных портфелей, и состоящих в том, что каждый инвестиционный портфель создается путем объединения двух конкретных типов активов: безрискового актива и оптимального портфеля рискованных активов, именуемого рыночным. Теоретически модель ценообразования основных активов основана на двух предположениях. Во-первых, все инвесторы имеют рациональное поведение на рынке и идентичны в отношении прогнозов по ожидаемым доходностям, дисперсиям и корреляциям рисковых активов на финансовом рынке. Следовательно, они формируют рисковый портфель в одинаковых пропорциях. Во-вторых, на находящемся в равновесии финансовом рынке цена акции устанавлива
Вывод
В нашей прежней экономике ценные бумаги не пользовались популярностью, не считая принудительного насаждения облигаций государственных займов, которые никто не называл и не считал ценными бумагами. Получение процентов, дивидендов на ценные бумаги считалось нетрудовыми доходами, исключение представляли выигрыши по облигациям и лотерейным билетам.
По мере перехода к рыночной экономике ситуация стала существенным образом изменяться. В то же время рынку бумаг как части более общего финансового рынка предстоит пройти еще длинный путь становления и врастания в формирующуюся рыночную экономику.
Выпуск ценных бумаг - важный источник привлечения средств для молодых предприятий, мобилизации дополнительного капитала для уже существующих предприятий, а также пополнения государственного и местного бюджета. Это своеобразный канал финансирования. Если тебе не достает денег, ты выпускаешь ценные бумаги, продаешь их на рынке ценных бумаг и обретаешь деньги.
Следует отметить, что введение различного вида ценных бумаг в финансово-денежный оборот позволяет без увеличения общей денежной массы повысить мобильность финансовых ресурсов, сосредоточить их на более важных участках производства, обращение, потребление продукции, товаров и услуг. Направление инвестирования, то есть вложения средств, определяется на рынке спросом и предложением, возможностью получения для инвесторов большей прибыли при равном риске вложений. Выпуск ценных бумаг чаще всего и сосредоточен в тех областях и сферах, которые обещают принести большой доход. Но прежде чем такой доход будет получен, предпринимателю приходится вложить в дело первоначальный, стартовый капитал. Этот капитал и можно получить и привлечь за счет ценных бумаг.
Особое значение в нашей стране выпуск ценных бумаг приобретает в условиях перевода государственных предприятий в коллективную и частную собственность посредством приватизации. Основной формой, главным способом приватизации является акционирование. Оно понимается двояким образом.
С одной стороны, это возможность превращения государственного предприятия в акционерное общество, то есть перехода от государственной формы собственности к коллективно-частной, в рамках которой собственниками предприятий становятся организации и лица, приобретающие акции данных предприятий.
С другой стороны, если предприятие приходится выкупать у нынешних собственников в лице уполномоченных государственных органов, то необходимые для этого денежные средства могут быть получены путем продажи акций приватизируемого предприятия.
Таким образом, приватизация государственных и муниципальных предприятий способна дать толчок развитию рынка ценных бумаг.
Обладающие денежными ресурсами и покупающие ценные бумаги выполняют полезную миссию. Согласно мудрому высказыванию М. Е. Салтыкова -Щедрина, «разумный кредитор помогает должнику выйти из стесненных обязательств и в вознаграждение за свою разумность получает свой долг. Неразумный кредитор сажает должника в острог или непрерывно сечет его и в вознаграждение не получает ничего».
Знание видов ценных бумаг, возможностей их приобретения и продажи, правил обращения, выгод и опасностей их покупки сегодня крайне необходимо не только хозяйственным руководителям и предпринимателям, но членам трудовых коллективов просто человеку, желающему стать обладателем акции, облигации, сертификата.
Довольно часто покупатель ценной бумаги, приобретающий ее тем или иным способом, просто не в состоянии оценить, какие ценные бумаги целесообразно хватать, а какие нет. В особенности тяжело сделать выбор российскому народу, который, не в обиду будет сказано, не ахти какой грамотей в части рыночной, да и вообще любой экономики. Впрочем, в нынешней экономической кутерьме и специалисту нелегко определить рациональный способ действий. Рынок, как говорится, есть рынок, и риска на нем не избежать.
Список литературы
1. Летчиков А.В. Лекции по финансовой математике. М.:Наука. 2008
2. Соловьев Е. Н. Фондовая биржа капиталистических стран. Киев: Слово, 2006. 148 с.
4. Сомов Е. Н., Киселева М. Б. Фондовая Биржа и ее роль в экономике. М.: АО Leon, 2004. 288 с.
5. Карташов А. Г. Как заработать деньги. М.: Наука, 2001. 107 с.
6. Фондовая Биржа/ Алехин Б.// Экономические науки. 1991. номер 8. с. 54-61.
7. Фондовая Биржа/ Мусатов В.// Экономические науки. 2001. номер 7. с. 55- 65.