Наведення теорії критичних точок довільного відображення Rn в Rm. Дослідження проекцій k-вимірних підмножин Rn на k-вимірні площини. Доведення теорем, використовуючи властивості іррегулярних підмножин Gnk. Дослідження теорій розмірності та відображень.
Аннотация к работе
На початку 30-х років Нобєлінгом було доведено, що для кожної k-вимірної компактної підмножини Х I Rn знайдеться k-вимірна площина l така, що ортогональна проекція множини Х на площину l має непорожню внутрішність, тобто топологічна розмірність даної проекціі дорівнює k. Відображення f I С(Х, Y) називають стійким, якщо воно має стійке значення у I Y; тобто для кожного, достатньо близького до f, відображення g I С(Х, Y) множина g(Х) містить точку у. Відомо, що для кожної множини Х I Rn нерівність dim Х ? k має місце тоді і лише тоді, коли існує стійке відображення f I С(Х, Rn). Дана проблема повязана з добре відомою гіпотезою Чогошвілі, згідно з якою кожна k-вимірна компактна множина Х I Rn повинна мати стійкий перетин з деякою (n - k)-вимірною площиною; тобто знайдеться e > 0 таке, що для кожного неперервного e-збурення f : X ® Rn ,?¦(x) - x?< e "x I Х множина f(X) перетинає дану площину. Виявляється, що гіпотеза Чогошвілі буде справедливою, якщо для кожної k-вимірної компактної підмножини Rn знайдеться стійке відображення в Rk, яке є ортогональною проекцією множини X на деяку k-вимірну площину (зворотнє, взагалі кажучи, не вірно, з твердження Чогошвілі не випливає існування у кожної k-вимірної підмножини Rn ортогональної проекції на деяку k-вимірну площину, яка була б стійким відображенням цієї множини).В дисертації отримано наступні результати: - Доведено, що для кожної k-вимірної підмножини X I Rn множини CRNK(X) і MRNK(X) всюди щільні в Gnk, а у випадку, коли k = 1, n - 1, доповнення до цих множин є ніде не щільними. Для кожної k-вимірної Fs-підмножини X I Rn множина Dnk (X) всюди щільна в Gnk; крім того, у випадках, коли k = 1, n - 1, доповнення до цієї множини є ніде не щільним. Була побудована k-вимірна підмножина Rn, у яку вкладається досить великий клас k-вимірних підмножин Rn, при цьому вкладення здійснюється гомеоморфізмом Rn на себе.
Вывод
В дисертації отримано наступні результати: - Доведено, що для кожної k-вимірної підмножини X I Rn множини CRNK(X) і MRNK(X) всюди щільні в Gnk, а у випадку, коли k = 1, n - 1, доповнення до цих множин є ніде не щільними.
- Для кожної k-вимірної Fs-підмножини X I Rn множина Dnk (X) всюди щільна в Gnk; крім того, у випадках, коли k = 1, n - 1, доповнення до цієї множини є ніде не щільним.
- Було доведено, що при k = 1, n - 1 кожна іррегулярна підмножина Gnk ніде не щільна. У загальному випадку доповнення до кожної іррегулярної множини всюди щільне в Gnk.
- Була побудована k-вимірна підмножина Rn, у яку вкладається досить великий клас k-вимірних підмножин Rn, при цьому вкладення здійснюється гомеоморфізмом Rn на себе.
- Отримана верхня оцінка розмірності типової множини рівня відображень
Хаусдорфа.
- Твердження відомої теореми А. Я. Дубовицького було перенесене на випадок довільного відображення.
Список литературы
1. Панков М. А., Полулях Е. А. Критические точки произвольніх отображений из Rn в Rm // Функцион. анализ и его прил. - 1997. - N 3. - С.82-85.
2. Pankov M. A. Hausdorff maps. // Methods of Functional Analysis and Topology. 1998 - N 3. - P. 58-60.
3. Pankov M. A. Projections of k-dimensional subsets of Rn onto k-dimentional planes.//Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. - 1998. - N 1/2. - P. 114-124.
4. Pankov M. A. On one class of universal k-dimentional spase. // Тезисы международной конференции по топологии и ее приложениям. Киев: Ин-т математики НАН Украины, Киевский национальный университет им. Т. Шевченко.-1995.-С.28.
Панков М. О. Іррегулярні підмножини многовидів Грасмана та їх застосування у теорії відображень. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз.
-Інститут математики НАН України, Київ, 1998.
В дисертації вводяться та досліджуються так звані іррегулярні підмножини многовидів Грасмана. Їх властивості вікористовуються для дослідження проекцій k-вимірних підмножин Rn на k-вимірні площини. Ця задача повязана з відомою гіпотезою Чогошвілі. Крім того, розглядається проблема Гуревича-Волмена та досліджується структура типової множини рівня відображень Rn в Rm.
Панков М. А. Иррегулярные подмножества многообразий Грассмана и их применение в теории отображений. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. -Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.
В работе вводятся и исследуются иррегулярные подмножества Грассмановых многообразий. Их свойства используются для изучения проекций k-мерных подмножеств Rn на k-мерные плоскости. Данная задача тесно связана с известной гипотезой Чогошвили о устойчивом пересечении k-мерного подмножества Rn с (n ? k)-мерной плоскостью. Кроме того, рассматривается проблема Гуревича-Волмена о k-мерных универсальных подмножествах Rn и исследуется структура типичного множества уровня отображений Rn в Rm.
Одна из основных целей показать, что для каждого k-мерного подмножества X в Rn множество Dnk (X) всех k-мерных плоскостей, ортогональные проекции множества X на которые имеют размерность k (или покрайней мере являются множествами второй категории) достаточно велико (т.е. всюду плотно или массивно). В главе 2 данная задача сводится к проблеме плотности иррегулярных подмножеств Грассмановых многообразий; т.е. доказано, что для каждого k-мерного Fs подмножества X в Rn дополнение к множеству Dnk (X) иррегулярно, для произвольного k-мерного (необязательно Fs-подмножества) доказано некоторое более слабое утверждение. В связи с этим было установлено, что дополнение у иррегулярному подмножеству Грассманова многообразия Gnk всюду плотно, а при k = 1 , n - 1 каждое иррегулярное подмножество Gnk нигде неплотно.
Техника, разработанная для доказательства упомянутых выше результатов, позволяет доказать одно утверждение, связанное с проблемой Гуревича-Волмена. В главе 3 строится k-мерное подмножество X в Rn такое, что достаточно широкий класс k-мерных подмножеств Rn допускает вложение в X гомеоморфизмом Rn на себя.
Глава 4 посвящена изучению структуры типичного мнгожества уровня отображений Rn в Rn. Дается вержняя оценка размерности типичного множества уровня отображений Хаусдорфа, обобщающая известную оценку А. Я. Дубовицкого для непрерывнодифференцированых отображений. Кроме того, приводится простое доказательство теоремы А. Я. Дубовицкого о пересечении типичного множества уровня непрерывно дифференцируемого отображения с множеством критических точек, которое позволяет перенести данный результат на случай произвольного отображения (понятие критической точки произвольного отображения можно найти в главе 1, посвященной предварительным сведениям из различных областей математики).
Pankov M. A. Irregular subsets of the Grassmannian manifolds and them applications to the mapping theory. -Manuscript.
Thisis the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specislity 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathemetics, NAN Ukraine, Kyiv, 1998.
In the dissertation we introduse and stady so-called irregular subsets of the Grassmannian manifolds. Them properts will be exploit to investigate of projections of k-dimentional subsets of Rn onto k-dimentional planes. There is a closely relation between this problem and well-known Chogoshvilis conjecture. Moreover, we consider the Hurevicz - Wallman problem and study structure of a typical level for maps of Rn into Rm.
Key words: Grassmannian manifolds, srregular subsets of the Grassmannian manifold, k-dimentional sets, Hausdorff maps.