Розвиток модифікованого методу послідовних наближень знаходження характеристичних чисел цілком неперервних операторів та операторних пучків - Автореферат

Міністерство освіти і науки УкраїниАВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Робота виконана на кафедрі програмування у Львівському національному університеті імені Івана Франка, міністерство освіти і науки України. модифікований спектр апостеріорний число Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор ВОЙТОВИЧ Микола Миколайович, завідувач відділу числових методів математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор ІЛЬЇНСЬКИЙ Анатолій Серафимович, завідувач лабораторії обчислювальної електродинаміки факультету обчислювальної математики та кібернетики Московського державного університету ім. доктор фізико-математичних наук, професор СЛОНЬОВСЬКИЙ Роман Володимирович, професор кафедри прикладної математики національного університету “Львівська політехніка”Задачі на власні значення виникають при дослідженні багатьох теоретичних і прикладних проблем фізики, механіки, хімії, біології та інших наук. Важливу роль у розвитку теорії спектральних задач та методів їх розвязування відіграють роботи Ю. Ш. Для багатьох конкретних класів цих задач існують теоретичні результати, розроблено різні, у тому числі ітераційні, методи знаходження власних значень, оцінки їх точності. Дослідження, повязані з розробкою методів розвязування цих задач, проводились у роботах П. М. Дана робота присвячена дослідженню питань, повязаних з теоретичним обгрунтуванням ММПН (зокрема для випадків, коли у спектрі оператора є кратні характеристичні числа, у тому числі неоднакової алгебричної та геометричної кратностей), з апостеріорною оцінкою точності наближених розвязків, з поширенням на клас узагальнених спектральних задач, з дослідженням ефективності, порівнянням з іншими методами, числовою реалізацією.У підрозділі 2.1 розглядається задача відшукання характеристичних чисел та відповідних їм власних функцій лінійного цілком неперервного оператора А, що діє у лінійному нормованому функціональному просторі E u - ? Au = 0.(1) Якщо коефіцієнти cj, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Zm є коефіцієнтами характеристичного ряду (2), то виконується умова Якщо ,(9) то коефіцієнти cj, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Zm, будуть коефіцієнтами цілої функції , яка перетворюється в нуль на мп. A дійсні додатні і, починаючи з деякого номера n0, зростають не повільніше ніж Cnp, p>1, для коефіцієнтів ряду (6) виконується (7), а коефіцієнти cj, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Zm є коефіцієнтами характеристичного ряду (2), то виконується умова (9). На m-му кроці алгоритму потрібно: обчислити функцію vm = Avm-1; для забезпечення виконання умови (9) (чи (8)) розвязати задачу і знайти коефіцієнти (в умовах теореми 2.2 послідовність мінімальних значень wt функціонала мажорується збіжною до нуля послідовністю , звідки випливає, що wm®0 при m ® ?); обчислити корені полінома ; обчислити функції ; проаналізувати можливі випадки: 1) якщо mk(m) - простий корінь і функція uk(m) відмінна від тотожнього нуля, то це є наближене характеристичне число і наближена власна функція задачі (1); 2) якщо mk(m) - простий корінь і функція uk(m) ? 0, то це є сторонній розвязок; 3) якщо mk(m) - кратний корінь і функція uk(m) ? 0, то, потрібно розвязати задачу повторно, вибравши іншу початкову функцію v0(x); 4) якщо серед чисел mn(m), n =1,…,m є двократні mk(m) = mk 1(m), і функція uk(m) відмінна від тотожнього нуля, то кожному такому числу відповідає ще й приєднана функція wk(m), яку слід обчислити за формуламиУ підрозділі 3.1 зясовано причини виникнення похибки методу, показано, що перше характеристичне число m1 визначається з максимально досяжною точністю, оскільки інформація про нього зберігається на всіх обчислених ітераціях vj вигляду . У підрозділах 3.2, 3.3 запропоновано спосіб апостеріорної оцінки точності обчислення характеристичних чисел, який можна використовувати для різних варіантів алгоритму ММПН. Тоді лінійна частина похибки наближених характеристичних чисел , обчислених на М-му кроці ММПН має вигляд У підрозділі 3.4 наведено приклади застосування запропонованої методики, показано, що отримані апостеріорні оцінки точності узгоджуються з реальною точністю обчислень. Вона означає, що характеристичні числа цих задач співпадають, а власними векторами ui пучка (16) є перші компоненти обчислених власних векторів задачі (20).Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - розвитку модифікованого методу послідовних наближень, призначеного для обчислення характеристичних чисел лінійних цілком неперервних операторів та операторних пучків, що діють у банаховому та гільбертовому просторах, а також розробці алгоритмічної та програмної реалізації цього методу для лінійних та нелінійних спектральних задач.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ